Question

【題目】已知函數(shù)（，為常數(shù)）.

（1）當(dāng)時(shí)，若方程有實(shí)根，求的最小值；

（2）設(shè)，若在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 最小值為0. (2)

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值為，所以，故的最小值為.

（2）首先求得的解析式，利用二次求導(dǎo)的方法，結(jié)合在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，將分成和兩種情況進(jìn)行分類(lèi)討論，由此求得的取值范圍.

（1）當(dāng)時(shí)，，

.

當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù).

∴.

由，得，

又，∴.即的最小值為0.

（2）∵，∴.

設(shè)，則，

可知在上為減函數(shù).

從而.

①當(dāng)，即時(shí)，，在區(qū)間上為增函數(shù)，

∵，∴在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立.

∴在區(qū)間上是減函數(shù)，故滿(mǎn)足題意；

②當(dāng)，即時(shí)，設(shè)函數(shù)的唯一零點(diǎn)為，

則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

又∵，∴，∴在上單調(diào)遞增，

∵，∴在上遞減，

這與在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)矛盾.

∴不合題意.

綜合①②得：.