【題目】如圖,在正方體中, 分別是棱的中點, 為棱上一點,且異面直線與所成角的余弦值為.
(1)證明: 為的中點;
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】試題分析:(1)以為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,不妨令正方體的棱長為2,設,利用,解得,即可證得;
(2)分別求得平面與平面的法向量,利用求解即可.
試題解析:
(1)證明:以為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系.
不妨令正方體的棱長為2,
則, , , , ,
設,則, ,
所以 ,
所以,解得(舍去),即為的中點.
(2)解:由(1)可得, ,
設是平面的法向量,
則.令,得.
易得平面的一個法向量為,
所以.
所以所求銳二面角的余弦值為.
點睛:空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當?shù)目臻g直角坐標系;(2)寫出相應點的坐標,求出相應直線的方向向量;(3)設出相應平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關系轉化為向量關系;(5)根據(jù)定理結論求出相應的角和距離.
【題型】解答題
【結束】
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【題目】已知橢圓的短軸長為2,且橢圓過點.
(1)求橢圓的方程;
(2)設直線過定點,且斜率為,若橢圓上存在兩點關于直線對稱, 為坐標原點,求的取值范圍及面積的最大值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知,函數(shù)
(1)討論的單調區(qū)間和極值;
(2)將函數(shù)的圖象向下平移1個單位后得到的圖象,且為自然對數(shù)的底數(shù))和是函數(shù)的兩個不同的零點,求的值并證明: 。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知實數(shù)a>0,b>0,函數(shù)f(x)=|x﹣a|﹣|x+b|的最大值為3.
(I) 求a+b的值;
(Ⅱ)設函數(shù)g(x)=﹣x2﹣ax﹣b,若對于x≥a均有g(x)<f(x),求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知定義在[﹣ , ]的函數(shù)f(x)=sinx(cosx+1)﹣ax,若y=f(x)僅有一個零點,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.( ,2]
B.(﹣∞, )∪[2,+∞)
C.[﹣ , )
D.(﹣∞,﹣ ]∪( ,+∞)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對某校高一年級學生參加社區(qū)服務次數(shù)進行統(tǒng)計,隨機抽取名學生作為樣本,得到這名學生參加社區(qū)服務的次數(shù).根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如下:
(1)求出表中及圖中的值;
(2)若該校高一學生有800人,試估計該校高一學生參加社區(qū)服務的次數(shù)在區(qū)間內的人數(shù).
【答案】(1), , ;(2)人.
【解析】試題分析:(1)由題意, 內的頻數(shù)是10,頻率是0.25知, ,所以,則, .(2)高一學生有800人,分組內的頻率是,人數(shù)為人.
試題解析:
(1)由內的頻數(shù)是10,頻率是0.25知, ,所以.
因為頻數(shù)之和為40,所以, .
.
因為是對應分組的頻率與組距的商,所以.
(2)因為該校高一學生有800人,分組內的頻率是,
所以估計該校高一學生參加社區(qū)服務的次數(shù)在此區(qū)間內的人數(shù)為人.
【題型】解答題
【結束】
18
【題目】已知直線經過拋物線的焦點,且與交于兩點.
(1)設為上一動點, 到直線的距離為,點,求的最小值;
(2)求.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓N的標準方程為(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0).
(1)若點M(6,9)在圓上,求a的值;
(2)已知點P(3,3)和點Q(5,3),線段PQ(不含端點)與圓N有且只有一個公共點,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), , (其中是自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)若曲線在點處的切線與直線垂直,求實數(shù)的值;
(2)記函數(shù),其中,若函數(shù)在內存在兩個極值點,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若對任意, ,且,均有成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和Sn>1,且6Sn=(an+1)(an+2),n∈N* .
(1)求{an}的通項公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn= ,求{bn}的前n項和.
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