Question

【題目】已知定義在[﹣ ， ]的函數(shù)f（x）=sinx（cosx+1）﹣ax，若y=f（x）僅有一個零點(diǎn)，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.（ ，2]
B.（﹣∞， ）∪[2，+∞）
C.[﹣ ， ）
D.（﹣∞，﹣ ]∪（ ，+∞）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：令g（x）=sinx（cosx+1），
則g′（x）=（2cosx﹣1）（cosx+1），
當(dāng)x∈[﹣ ，﹣ ）時，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，
當(dāng)x∈（﹣ ， ）時，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（ ， ]時，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，
故g（x）=sinx（cosx+1）的圖象如下圖所示：

當(dāng)x=± 時，g（x）=±1，此時a= ，
當(dāng)x=0時，g′（x）=2，
若y=f（x）僅有一個零點(diǎn)，
則函數(shù)g（x）=sinx（cosx+1）的圖象與y=ax的圖象有且僅有一個交點(diǎn)，
由圖可得：a∈（﹣∞， ）∪[2，+∞），
故選：B
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減)．