【題目】(本小題滿分12分)
設(shè)函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)若關(guān)于的方程有3個(gè)不同實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)已知當(dāng)恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【答案】(1) 的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是;當(dāng);當(dāng);(2);(3) .
【解析】試題分析:(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)定義域分段,由導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號(hào)判斷原函數(shù)的單調(diào)性,從而求得極值;(2)本題轉(zhuǎn)化為的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為三時(shí)的范圍,由(1)得的大致形狀,可得的取值范圍;(3)不等式可轉(zhuǎn)化為在恒成立,即求的最小值即可.
(1)
∴當(dāng),
∴的單調(diào)遞增區(qū)間是,
單調(diào)遞減區(qū)間是
當(dāng);當(dāng)
(2)由(1)的分析可知圖象的大致形狀及走向(圖略)
∴當(dāng)的圖象有3個(gè)不同交點(diǎn),
即方程有三解.
(3)
∵上恒成立
令,由二次函數(shù)的性質(zhì), 上是增函數(shù),
∴∴所求k的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C: (>b>0)的離心率為,A(,0), B(0,b),O(0,0),△OAB的面積為1.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn),直線PA與y軸交于點(diǎn)M,直線PB與x軸交于點(diǎn)N.求證:|AN|·|BM|為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列四組函數(shù)中,表示相等函數(shù)的一組是( )
A.f(x)=|x|,
B. ,
C. ,g(x)=x+1
D. ,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】現(xiàn)有甲乙兩船,其中甲船在某島B的正南方A處,A與B相距7公里,甲船自A處以4公里/小時(shí)的速度向北方向航行,同時(shí)乙船以6公里/小時(shí)的速度自B島出發(fā),向北60°西方向航行,問(wèn)分鐘后兩船相距最近.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)
已知函數(shù), .
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),過(guò)原點(diǎn)分別作曲線與的切線, ,已知兩切線的斜率互為倒數(shù),證明: ;
(3)設(shè),當(dāng), 時(shí),求實(shí)數(shù)的取值范圍
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=bax(a>0,且a≠1,b∈R)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,6),B(3,24).
(1)設(shè)g(x)= ﹣ ,確定函數(shù)g(x)的奇偶性;
(2)若對(duì)任意x∈(﹣∞,1],不等式( )x≥2m+1恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)g(x)=mx2﹣2mx+n+1(m>0)在區(qū)間[0,3]上有最大值4,最小值0.
(Ⅰ)求函數(shù)g(x)的解析式;
(Ⅱ)設(shè)f(x)= .若f(2x)﹣k2x≤0在x∈[﹣3,3]時(shí)恒成立,求k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在處的切線方程為.
(1)求的值;
(2)若對(duì)任意的,都有成立,求的取值范圍;
(3)若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為,試判斷的正負(fù),并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在處取得極小值.
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)設(shè),其導(dǎo)函數(shù)為,若的圖象交軸于兩點(diǎn)且,設(shè)線段的中點(diǎn)為,試問(wèn)是否為的根?說(shuō)明理由.
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