【題目】已知橢圓C (b>0)的離心率為,A(,0) B(0,b)O(0,0),OAB的面積為1.

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn),直線PAy軸交于點(diǎn)M,直線PBx軸交于點(diǎn)N.求證:|AN|·|BM|為定值.

【答案】(1) (2)見(jiàn)解析.

【解析】試題分析:

運(yùn)用橢圓的離心率公式和三角形的面積公式,結(jié)合的關(guān)系,解方程可得,進(jìn)而得到橢圓方程。

設(shè)橢圓上點(diǎn)可得,求出直線的方程,令求得,求出直線的方程,令求得,化簡(jiǎn)整理,即可得到的定值

(1)解 由已知,ab1.

a2b2c2,解得a2,b1c.

橢圓方程為y21.

(2)證明 由(1)知,A(2,0)B(0,1)

設(shè)橢圓上一點(diǎn)P(x0,y0),則y1.

當(dāng)x0≠0時(shí),直線PA方程為y(x2),

x0yM.

從而|BM||1yM|.

直線PB方程為yx1.

y0xN.

∴|AN||2xN|.

∴|AN|·|BM|·

·

4.

當(dāng)x00時(shí),y0=-1,|BM|2,|AN|2,

∴|AN|·|BM|4.

|AN|·|BM|為定值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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