【題目】已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上,且橢圓的焦距為2.

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),過軸且與橢圓交于另一點(diǎn), 為橢圓的右焦點(diǎn),求證:三點(diǎn)在同一條直線上.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)見解析.

【解析】試題分析:(Ⅰ)由焦距為2可得,解方程得的值,即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)設(shè)直線的方程為,點(diǎn),聯(lián)立直線與橢圓的方程,結(jié)合韋達(dá)定理可得 ,直線方程為,結(jié)合點(diǎn)在上,用, 代替, ,化簡整理直線方程為,令,整理得,得證.

試題解析:(Ⅰ)∵橢圓的焦點(diǎn)在軸上,

,即,

∵橢圓的焦距為2,且,

,解得

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;

(Ⅱ)由題知直線的斜率存在,

設(shè)的方程為,點(diǎn),

,

, ,

由題可得直線方程為,

又∵ ,

∴直線方程為

,整理得

,

即直線過點(diǎn)

又∵橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為,

∴三點(diǎn)在同一條直線上.

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