Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經過點P（2，

2

），且離心率為

2

2

，
（1）求橢圓的方程；
（2）設B₁，B₂為橢圓C的下、上頂點，過B₁作斜率為k₁（k₁≠0）的直線l₁交橢圓C于點M，過B₂作斜率為k₂（k₂≠0）的直線l₂交橢圓C于點N．若k₁+3k₂=0，證明：直線MN經過定點P（0，4）．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：

分析：（1）由題意可得a²和b²的方程組，解之可得橢圓方程；（2）聯立方程

y=k1x-2 x2 8 + y2 4 =1

消y并整理可得(2k12+1)x2-8k1x=0，可得x=0或x=

8k1

2k12+1

，將x=

8k1

2k12+1

代入y=k₁x-2，可得M和N的坐標，分別可得直線MP的斜率k₃，和直線NP的斜率k₄，可判三點M、N、P共線，可得結論．

解答： 解：（1）由題意可得

4

a2

+

2

b2

=1，

b

a

=

1-e2

=

1-( 2 2 )2

=

2

2

，
解得a²=8，b²=4，
∴橢圓C的方程為

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）由（1）可得B₁（0，-2），
∴直線l₁的方程為y=k₁x-2，
聯立方程

y=k1x-2 x2 8 + y2 4 =1

消y并整理可得(2k12+1)x2-8k1x=0，
解得x=0或x=

8k1

2k12+1

，將x=

8k1

2k12+1

代入y=k₁x-2
可得y=k₁

8k1

2k12+1

-2=

4k12-2

2k12+1

，即M（

8k1

2k12+1

，

4k12-2

2k12+1

）
同理可得N的坐標為（

-8k2

2k22+1

，-

4k22-2

2k22+1

），
∴直線MP的斜率k₃=

4k12-2 2k12+1 -4

8k1 2k12+1

=-

2k12+3

4k1

=

18k22+3

12k2

=

6k22+1

4k2

，
直線NP的斜率k₄=

- 4k22-2 2k2+1 -4

-8k22 2k22+1

=

6k22+1

4k2

=k₃，
∴三點M、N、P共線，
∴直線MN經過定點P（0，4）．

點評：本題考查橢圓的簡單性質，涉及直線與橢圓的位置關系，屬中檔題．