Question

已知

a

=（1，cosx），

b

=（sin2x，2cosx），且f（x）=

a

•

b

-1．
（1）求函數(shù)y=f（x），x∈[0，π]的單調(diào)增區(qū)間；
（2）證明：無論m為何值，直線4x-y+m=0與函數(shù)y=f（x）的圖象不相切．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用向量數(shù)量積運算和兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出．

解答： （1）解：f（x）=

a

•

b

-1=sin2x+2cos²x-1=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)．
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ解得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z．
又x∈[0，π]，∴x∈[0，

π

8

]，[

5π

8

，π]．
因此函數(shù)y=f（x），x∈[0，π]的單調(diào)增區(qū)間是[0，

π

8

]，[

5π

8

，π]．
（2）證明：∵y′=2

2

cos(2x+

π

4

)≤2

2

，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象的切線的斜率最大值為2

2

，因此無論m為何值，直線4x-y+m=0與函數(shù)y=f（x）的圖象不相切．

點評：本題考查了向量數(shù)量積運算和兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．