Question

給定橢圓C：＝1(a>b>0)，稱圓心在原點O、半徑是的圓為橢圓C的“準圓”．已知橢圓C的一個焦點為F(，0)，其短軸的一個端點到點F的距離為.
(1)求橢圓C和其“準圓”的方程；
(2)若點A是橢圓C的“準圓”與x軸正半軸的交點，B、D是橢圓C上的兩相異點，且BD⊥x軸，求·的取值范圍；
(3)在橢圓C的“準圓”上任取一點P，過點P作直線l₁，l₂，使得l₁，l₂與橢圓C都只有一個交點，試判斷l(xiāng)₁，l₂是否垂直？并說明理由．

Answer 1

（1）x²＋y²＝4（2）[0，7＋4)（3）對于橢圓C上的任意點P，都有l(wèi)₁⊥l₂.

(1)由題意知c＝，且a＝＝，可得b＝1，故橢圓C的方程為＋y²＝1，其“準圓”方程為x²＋y²＝4.
(2)由題意，可設B(m，n)，D(m，－n)(－<m<)，則有＋n²＝1，又A點坐標為(2，0)，故＝(m－2，n)，＝(m－2，－n)，故·＝(m－2)²－n²＝m²－4m＋4－＝m²－4m＋3＝，又－<m<，故∈[0，7＋4]，所以·的取值范圍是[0，7＋4)．
(3)設P(s，t)，則s²＋t²＝4.當s＝±時，t＝±1，則l₁，l₂其中之一斜率不存在，另一斜率為0，顯然有l(wèi)₁⊥l₂.當s≠±時，設過P(s，t)且與橢圓有一個公共點的直線l的斜率為k，則l的方程為y－t＝k(x－s)，代入橢圓C方程可得x²＋3[kx＋(t－ks)]²＝3，即(3k²＋1)x²＋6k(t－ks)x＋3(t－ks)²－3＝0，由Δ＝36k²(t－ks)²－4(3k²＋1)[3(t－ks)²－3]＝0，可得(3－s²)k²＋2stk＋1－t²＝0，其中3－s²＝0，設l₁，l₂的斜率分別為k₁，k₂，則k₁，k₂是上述方程的兩個根，故k₁k₂＝＝－1，即l₁⊥l₂.綜上可知，對于橢圓C上的任意點P，都有l(wèi)₁⊥l₂.