已知橢圓：的離心率為，右焦點為(，0)．
(1)求橢圓的方程；  
(2)若過原點作兩條互相垂直的射線，與橢圓交于，兩點，求證：點到直線的距離為定值.
(1)（2）見解析

試題分析：(1)由離心率，右焦點坐標易得各常量值. (2)先假設(shè)，當直線AB斜率存在時，與橢圓方程聯(lián)立，可得又OA⊥OB，滿足根與系數(shù)的關(guān)系，可得4 m2＝3 k2＋3，代入點到直線的距離可得d＝.
試題解析：（1）由右焦點為(，0)，則，又，所以，
那么                                   4分
（2） 設(shè)，，若k存在，則設(shè)直線AB：y＝kx＋m.
由，得    6分
＞0，                 8分
有OA⊥OB知x1x2＋y1y2＝x1x2＋(k x1＋m) (k x2＋m)＝(1＋k2) x1x2＋k m(x1＋x2)＝0       10分
代入，得4 m2＝3 k2＋3原點到直線AB的距離d＝.      12分
當AB的斜率不存在時，,可得，依然成立．   13分
所以點O到直線的距離為定值           14分
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，且過點（）．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)直線l:y=kx+t與圓（1＜R＜2）相切于點A，且l與橢圓E只有一個公共點B.
①求證：；
②當R為何值時，取得最大值？并求出最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓C：的左頂點為A，M是橢圓C上異于點A的任意一點，點P與點A關(guān)于點M對稱.

（1）若點P的坐標，求m的值；
（2）若橢圓C上存在點M，使得，求m的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)橢圓的左、右焦點分別、，點是橢圓短軸的一個端點，且焦距為6，的周長為16．
（I）求橢圓的方程；
（2）求過點且斜率為的直線被橢圓所截的線段的中點坐標．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓經(jīng)過點，一個焦點為．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線與軸交于點，與橢圓交于兩點，線段的垂直平分線與軸交于點，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知點是離心率為的橢圓：上的一點，斜率為的直線交橢圓于，兩點，且、、三點互不重合．

（1）求橢圓的方程；（2）求證：直線，的斜率之和為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的方程為＝1(a>b>0)，雙曲線＝1的兩條漸近線為l1、l2，過橢圓C的右焦點F作直線l，使l⊥l1.又l與l2交于P點，設(shè)l與橢圓C的兩個交點由上至下依次為A、B(如圖)．

(1)當l1與l2夾角為60°，雙曲線的焦距為4時，求橢圓C的方程；
(2)當＝λ，求λ的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

給定橢圓C：＝1(a>b>0)，稱圓心在原點O、半徑是的圓為橢圓C的“準圓”．已知橢圓C的一個焦點為F(，0)，其短軸的一個端點到點F的距離為.
(1)求橢圓C和其“準圓”的方程；
(2)若點A是橢圓C的“準圓”與x軸正半軸的交點，B、D是橢圓C上的兩相異點，且BD⊥x軸，求·的取值范圍；
(3)在橢圓C的“準圓”上任取一點P，過點P作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個交點，試判斷l(xiāng)1，l2是否垂直？并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知F1、F2分別是橢圓＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，A、B分別是此橢圓的右頂點和上頂點，P是橢圓上一點，O是坐標原點，OP∥AB，PF1⊥x軸，F(xiàn)1A＝＋，則此橢圓的方程是________________．

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