【題目】設(shè)是橢圓 的四個頂點(diǎn),菱形的面積與其內(nèi)切圓面積分別為, .橢圓的內(nèi)接的重心(三條中線的交點(diǎn))為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求橢圓的方程;

(2) 的面積是否為定值?若是,求出該定值,若不是,請說明理由.

【答案】(1);(2

【解析】試題分析:

(I)由內(nèi)切圓面積得半徑,即為原點(diǎn)到直線PQ的距離,可得,又四邊形PQRS的面積為,從而可得,解得得橢圓方程;

(II)可先求特殊情形下的三角形面積,即斜率不存在時,C為橢圓的左(右)頂點(diǎn),求得面積為;當(dāng)斜率存在時,設(shè)方程為,代入橢圓方程,并設(shè),由韋達(dá)定理得,利用O是的重心,得表示出C點(diǎn)坐標(biāo),把C點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程求得的關(guān)系式為,由圓錐曲線中的弦長公式求得弦長,求出C點(diǎn)到直線AB的距離,從而得三角形ABC的面積,代入剛才的關(guān)系式可得,因此結(jié)論為存在.

試題解析:

(Ⅰ)∵菱形的面積與其內(nèi)切圓面積分別為,

,

,

聯(lián)立解得

故所求橢圓的方程為.

(Ⅱ)當(dāng)直線斜率不存在時,

的重心,∴為橢圓的左、右頂點(diǎn),不妨設(shè),

則直線的方程為,可得, 到直線的距離,

當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線方程為: ,

聯(lián)立,得,

,

,

的重心,∴,

點(diǎn)在橢圓上,故有,

化簡得

又點(diǎn)到直線的距離是原點(diǎn)到距離的3倍得到).

綜上可得, 的面積為定值

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)直線y軸交于點(diǎn)G,記的面積為,的面積為,求的最大值及取得最大值時點(diǎn)P的坐標(biāo).

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方式

實(shí)施地點(diǎn)

大雨

中雨

小雨

模擬實(shí)驗(yàn)總次數(shù)

A

4

6

2

12

B

3

6

3

12

C

2

2

8

12

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