Question

【題目】已知數(shù)列（其中第一項(xiàng)是，接下來的項(xiàng)是，再接下來的項(xiàng)是，依此類推）的前項(xiàng)和為，下列判斷：

①是的第項(xiàng)；②存在常數(shù)，使得恒成立；③；④滿足不等式的正整數(shù)的最小值是.

其中正確的序號(hào)是（ ）

A.①③B.①④C.①③④D.②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

找出數(shù)列的規(guī)律：分母為的項(xiàng)有項(xiàng)，并將這些項(xiàng)排成楊輝三角形式的數(shù)陣，使得第有項(xiàng)，每項(xiàng)的分母均為，并計(jì)算出每行各項(xiàng)之和，并計(jì)算出數(shù)列的前項(xiàng)和，結(jié)合這些規(guī)律來判斷各題的正誤。

由題意可知，數(shù)列的規(guī)律為：分母為的項(xiàng)有項(xiàng)，將數(shù)列中的項(xiàng)排成楊輝三角數(shù)陣，且使得第行每項(xiàng)的分母為，該行有項(xiàng)，如下所示：

對(duì)于命題①，位于數(shù)陣第行最后一項(xiàng)，對(duì)應(yīng)于數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為

，命題①正確；

對(duì)于命題②，數(shù)陣中第行各項(xiàng)之和為，則，

且數(shù)列的前項(xiàng)之和為

，

當(dāng)時(shí)，，因此，不存在正數(shù)，使得，命題②錯(cuò)誤；

對(duì)于命題③，易知第行最后一項(xiàng)位于數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為

，

第行最后一項(xiàng)位于數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，且，

則位于數(shù)陣第行第項(xiàng)（即），

所以，

，命題③錯(cuò)誤；

由①知，，且，

則恰好滿足的項(xiàng)位于第行，假設(shè)位于第項(xiàng)，

則有，可得出，

由于，，則，，

因此，滿足的最小正整數(shù)，命題④正確。

故選：B.