如圖甲,設正方形
的邊長為
,點
分別在
上,并且滿足
,如圖乙,將直角梯形
沿
折到
的位置,使點
在
平面
上的射影
恰好在
上.
(1)證明:
平面
;
(2)求平面
與平面
所成二面角的余弦值.
(1)先證
(2)
試題分析:⑴證明:在圖甲中,易知
,從而在圖乙中有
,
因為
平面
,
平面
,所以
平面
⑵解法1、
如圖,在圖乙中作
,垂足為
,連接
,
由于
平面
,則
,
所以
平面
,則
,
所以
平面
與平面
所成二面角的平面角,
圖甲中有
,又
,則
三點共線,
設
的中點為
,則
,易證
,所以,
,
;
又由
,得
,
于是,
,
在
中,
,即所求二面角的余弦值為
.
解法2、
如圖,在圖乙中作
,垂足為
,連接
,由于
平面
,則
,
所以
平面
,則
,圖甲中有
,又
,則
三點共線,
設
的中點為
,則
,易證
,所以
,則
;
又由
,得
,
于是,
,
在
中,
作
交
于點
,則
,以點
為原點,分別以
所在直線為
軸,建立如圖丙所示的空間直角坐標系,則
、
、
、
,則
顯然,
是平面
的一個法向量,
設
是平面
的一個法向量,則
,即
,不防取
,則
,
設平面
與平面
所成二面角為
,可以看出,
為銳角,所以,
,所以,
平面
與平面
, 所成二面角的余弦值為
.
點評:本題考查線面平行,考查線面角,考查向量知識的運用,考查學生的計算能力,屬于
中檔題.
練習冊系列答案
相關習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
在四棱錐
中,
,
是正三角形,
的交點
恰好是
中點,又
,
,點
在線段
上,且
.
(1)求證:
;
(2)求證:
;
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,
為圓
的直徑,點
、
在圓
上,
,矩形
所在的平面和圓
所在的平面互相垂直,且
,
.
(1)求證:
平面
;
(2)設
的中點為
,求證:
平面
;
(3)設平面
將幾何體
分成的兩個錐體的體積分別為
,
,求
.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
在棱長為2的正方體中,點E,F分別是棱AB,BC的中點,則點
到平面
的距離等于( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,在正四棱錐
中,底面是邊長為2的正方形,側棱
,
為
的中點,
是側棱
上的一動點。
(1)證明:
;
(2)當直線
時,求三棱錐
的體積.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,已知
為平行四邊形,
,
,
,點
在
上,
,
,
與
相交于
.現(xiàn)將四邊形
沿
折起,使點
在平面
上的射影恰在直線
上.
(Ⅰ) 求證:
平面
;
(Ⅱ) 求折后直線
與平面
所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
如圖是正方體的平面展開圖,在這個正方體中,①
平面
;②
平面
;③平面
平面
;④平面
平面
.以上四個命題中,正確命題的序號是
。
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
四面體
SABC中
,E,F,G分別是棱
SC,
AB,SB的中點,若異面直線
SA與
BC所成的角等于45º,則∠
EGF等于( )
A.90º | B.60º或120º | C.45º | D.45º或135º |
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
如圖所示,點P在正方形ABCD所在平面外,PA⊥平面ABCD,PA=AB,則PB與AC所成的角是( )
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