【題目】已知函數(shù)
(1)當a=1時,求函數(shù)f(x)在[1,e]上的最小值和最大值;
(2)當a≤0時,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(3)是否存在實數(shù)a,對任意的x1,x2(0,+∞),且x1≠x2,都有恒成立.若存在,求出a的取值范圍;若不存在,說明理由.
【答案】(1)最小值為f(2)=-2ln2,最大值為;(2)①當時,f(x)在(0,-a)上是增函數(shù),在(-a,2)上是減函數(shù),在上是增函數(shù);②當a=-2時,在上是增函數(shù); 時, 則f(x)在(0,2)上是增函數(shù),在(2,-a)上是減函數(shù),在上是增函數(shù);(3).
【解析】試題分析:(1),可求得,由確定增區(qū)間, 確定減區(qū)間,求出極值,并與比較得最大值和最小值;(2)求出函數(shù)定義域為,求出導(dǎo)數(shù),分類, , ,然后可分別確定單調(diào)區(qū)間;(3)這是探究性命題,可假設(shè)存在實數(shù)a, 對任意的x1,x2(0,+∞),且x1≠x2,都有恒成立,不妨設(shè),不等式可變?yōu)?/span>,此不等式成立,只要函數(shù)為增函數(shù)即能滿足.
試題解析:(1)當a=1時, .
則.
∴當時, 當時,
∴f(x)在(1,2)上是減函數(shù),在(2,e)上是增函數(shù).
∴當x=2時,f(x)取得最小值,其最小值為f(2)=-2ln2.
又,
, ∴
∴. …………4分
(2) f(x)的定義域為,
.
①當時,
f(x)在(0,-a)上是增函數(shù),在(-a,2)上是減函數(shù),在上是增函數(shù).
②當a=-2時,在上是增函數(shù).
③時, 則f(x)在(0,2)上是增函數(shù),在(2,-a)上是減函數(shù),
在上是增函數(shù).
(3) 假設(shè)存在實數(shù)a, 對任意的x1,x2(0,+∞),且x1≠x2,都有恒成立
不妨設(shè), 若,即.
令g(x)=f(x)-ax= -ax=.
只要g(x)在(0,+∞)為增函數(shù)
要使在(0,+∞)恒成立,只需-1-2a≥0, .
故存在滿足題意.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地區(qū)的高一新生中,來自東部平原地區(qū)的學(xué)生有2400人,中部丘陵地區(qū)的學(xué)生有1600人,西部山區(qū)的學(xué)生有1000人.計劃從中選取100人調(diào)查學(xué)生的視力情況,現(xiàn)已了解到來自東部、中部、西部三個地區(qū)學(xué)生的視力情況有較大差異,而這三個地區(qū)男、女生視力情況差異不大,在下面的抽樣方法中,最合理的抽樣方法是( )
A.抽簽法B.按性別分層隨機抽樣
C.隨機數(shù)法D.按地區(qū)分層隨機抽樣
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=的定義域為集合A,B={x|x<a}.
(1)若AB,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若全集U={x|x≤4},a=﹣1,求UA及A∩(UB).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某服裝制造商現(xiàn)有300m2的棉布料,900m2的羊毛料,和600 m2的絲綢料。做一條大衣需要1m2的棉布料,5m2的羊毛料,1m2的絲綢料.做一條褲子需要1m2的棉布料,2m2的羊毛料,1m2的絲綢料。
(1)在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種服裝,列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式,并在直角坐標系中畫出相應(yīng)的平面區(qū)域。
(2)若生產(chǎn)一條大衣的純收益是120元,生產(chǎn)一條褲子的純收益是80元,那么應(yīng)采用哪種生產(chǎn)安排,該服裝制造商能獲得最大的純收益;最大收益是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出如下命題:
①命題 “在中,若,則” 的逆命題為真命題;
②若動點到兩定點的距離之和為,則動點的軌跡為線段;
③若為假命題,則都是假命題;
④設(shè),則“”是“”的必要不充分條件
⑤若實數(shù)成等比數(shù)列,則圓錐曲線的離心率為;
其中所有正確命題的序號是_________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,邊長為4的正方形與矩形所在平面互相垂直,分別為的中點,.
(1)求證:平面;
(2)求證:平面;
(3)在線段上是否存在一點,使得?若存在,求出的長;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中國天氣網(wǎng)2016年3月4日晚六時通過手機發(fā)布的3月5日通州區(qū)天氣預(yù)報的折線圖(如圖),其中上面的折線代表可能出現(xiàn)的從高氣溫,下面的折線代表可能出現(xiàn)的最低氣溫.
(Ⅰ)指出最高氣溫與最低氣溫的相關(guān)性;
(Ⅱ)估計在10:00時最高氣溫和最低氣溫的差;
(Ⅲ)比較最低氣溫與最高氣溫方差的大。ńY(jié)論不要求證明).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖象過點,且在點處的切線方程.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)求函數(shù)與的圖象有三個交點,求的取值范圍.
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