Question

【題目】設定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對于任意的x1、x2∈R，當x1＜x2時，都有f（x1）≤f（x2）．
（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范圍；
（2）若f（x）是周期函數(shù)，證明：f（x）是常值函數(shù)；
（3）設f（x）恒大于零，g（x）是定義在R上的、恒大于零的周期函數(shù)，M是g（x）的最大值．函數(shù)h（x）=f（x）g（x）．證明：“h（x）是周期函數(shù)”的充要條件是“f（x）是常值函數(shù)”．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）=a（x13﹣x23）≤0，

∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0．

故a的范圍是[0，+∞）

（2）證明：若f（x）是周期函數(shù)，記其周期為Tk，任取x0∈R，則有

f（x0）=f（x0+Tk），

由題意，對任意x∈[x0，x0+Tk]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+Tk），

∴f（x0）=f（x）=f（x0+Tk）．

又∵f（x0）=f（x0+nTk），n∈Z，并且

…∪[x0﹣3Tk，x0﹣2Tk]∪[x0﹣2Tk，x0﹣Tk]∪[x0﹣Tk，x0]∪[x0，x0+Tk]∪[x0+Tk，x0+2Tk]∪…=R，

∴對任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，為常數(shù)

（3）證明：充分性：若f（x）是常值函數(shù)，記f（x）=c1，設g（x）的一個周期為Tg，則

h（x）=c1g（x），則對任意x0∈R，

h（x0+Tg）=c1g（x0+Tg）=c1g（x0）=h（x0），

故h（x）是周期函數(shù)；

必要性：若h（x）是周期函數(shù)，記其一個周期為Th．

若存在x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＜0，則由題意可知，

x1＞x2，那么必然存在正整數(shù)N1，使得x2+N1Tk＞x1，

∴f（x2+N1Tk）＞f（x1）＞0，且h（x2+N1Tk）=h（x2）．

又h（x2）=g（x2）f（x2）＜0，而

h（x2+N1Tk）=g（x2+N1Tk）f（x2+N1Tk）＞0≠h（x2），矛盾．

綜上，f（x）＞0恒成立．

由f（x）＞0恒成立，

任取x0∈A，則必存在N2∈N，使得x0﹣N2Th≤x0﹣Tg，

即[x0﹣Tg，x0][x0﹣N2Th，x0]，

∵…∪[x0﹣3Tk，x0﹣2Tk]∪[x0﹣2Tk，x0﹣Tk]∪[x0﹣Tk，x0]∪[x0，x0+Tk]∪[x0+Tk，x0+2Tk]∪…=R，

∴…∪[x0﹣2N2Th，x0﹣N2Th]∪[x0﹣N2Th，x0]∪[x0，x0+N2Th]∪[x0+N2Th，x0+2N2Th]∪…=R．

h（x0）=g（x0）f（x0）=h（x0﹣N2Th）=g（x0﹣N2Th）f（x0﹣N2Th），

∵g（x0）=M≥g（x0﹣N2Th）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2Th）＞0．

因此若h（x0）=h（x0﹣N2Th），必有g（x0）=M=g（x0﹣N2Th），且f（x0）=f（x0﹣N2Th）=c．

而由（2）證明可知，對任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，為常數(shù)．

綜上，必要性得證

【解析】（1）直接由f（x1）﹣f（x2）≤0求得a的取值范圍；（2）若f（x）是周期函數(shù)，記其周期為Tk，任取x0∈R，則有f（x0）=f（x0+Tk），證明對任意x∈[x0，x0+Tk]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+Tk），可得f（x0）=f（x0+nTk），n∈Z，再由…∪[x0﹣3Tk，x0﹣2Tk]∪[x0﹣2Tk，x0﹣Tk]∪[x0﹣Tk，x0]∪[x0，x0+Tk]∪[x0+Tk，x0+2Tk]∪…=R，可得對任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，為常數(shù)；（3）分充分性及必要性證明．類似（2）證明充分性；再證必要性，然后分類證明．