【題目】已知圓C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=25,直線l:(2m+1)x+(m+1)y﹣7m﹣4=0(m∈R)
(1)證明:直線l恒過定點,并判斷直線l與圓的位置關(guān)系;
(2)當(dāng)直線l被圓C截得的弦長最短時,求直線l的方程及最短弦的長度.

【答案】解:(1)直線l的方程:(2m+1)x+(m+1)y﹣7m﹣4=0,
整理得:(2x+y﹣7)m+(x+y﹣4)=0,
∵m∈R,∴,解得x=3,y=1,
即直線l恒過定點D(3,1)
把D點的坐標(biāo)代入圓C的方程:(3﹣1)2+(1﹣2)2<25,
所以點D在圓內(nèi),直線l經(jīng)過圓C內(nèi)的一點D,
故直線l與圓C相交.…(6分)
(2)當(dāng)直線l垂直于CD時,被截得的弦長最短
由C(1,2),D(3,1)∴,
所以直線l被圓C截得的弦長最短時,直線l的斜率為2,
此時直線l的方程為y﹣1=2(x﹣3),即2x﹣y﹣5=0
又|CD|=,所以,最短弦長為2
所以,直線l被圓C截得的弦長最短時,直線l的方程為2x﹣y﹣5=0,
最短弦長為2
【解析】(1)先化簡直線方程:將m分離出來,列出方程組求出定點的坐標(biāo),判斷出定點與圓的位置關(guān)系,可得到直線l與圓的位置關(guān)系;
(2)當(dāng)直線l垂直于CD時被截得的弦長最短,求出CD的斜率,由直線垂直的條件求出直線l的斜率,結(jié)合定點的坐標(biāo)求出直線l的方程,由弦長公式求出最短弦的長度.

練習(xí)冊系列答案
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(2)試估計該公司投入萬元廣告費用之后,對應(yīng)銷售收益的平均值(以各組的區(qū)間中點值代表該組的取值);

(3)該公司按照類似的研究方法,測得另外一些數(shù)據(jù),并整理得到下表:

廣告投入 (單位:萬元)

1

2

3

4

5

銷售收益 (單位:萬元)

2

3

2

7

由表中的數(shù)據(jù)顯示, 之間存在著線性相關(guān)關(guān)系,請將(2)的結(jié)果填入空白欄,并求出關(guān)于的回歸直線方程.

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