【題目】已知函數(shù)f(x)=a2x﹣2x定義域?yàn)镽的奇函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)判斷函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性,并利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明;
(3)若不等式f(9x+1)+f(t﹣23x+5)>0在在R上恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

【答案】
(1)解:∵f(x)是R上的奇函數(shù),

∴f(﹣x)=﹣f(x) 對(duì)任意x∈R恒成立,即a2x﹣2x=﹣(a2x﹣2x).

即(a﹣1)(2x+2x)=0,

∴a=1;


(2)解:f(x)為R上的增函數(shù).下面證明:

任取x1,x2∈R,且x1<x2,

f(x1)﹣f(x2)= ﹣(

=( )+ =( )(1+

∵x1<x2,

<0,1+ >0,

∴f(x1)﹣f(x2)<0,

∴f(x1)<f(x2),

∴f(x)為R上的增函數(shù)


(3)解:∵不等式f(9x+1)+f(t﹣23x+5)>0在R上恒成立

∴f(9x+1)>﹣f(t﹣23x+5)=f[﹣(t﹣23x+5)]=f(﹣t+23x﹣5),

∵f(x)為R上的增函數(shù)

∴9x+1>﹣t+23x﹣5,t>﹣9x+23x﹣6,即t>﹣(3x﹣1)2﹣5

當(dāng)3x﹣1=0,即x=0時(shí),﹣(3x﹣1)2﹣5有最大值﹣5,

所以t>﹣5


【解析】1、根據(jù)題意可得利用奇函數(shù)的判定即可得出a的值。
2、利用函數(shù)單調(diào)性的定義可以判斷,得出f(x1)<f(x2)。
3、結(jié)合(2)的結(jié)論和奇函數(shù)的性質(zhì),不等式可轉(zhuǎn)化為t>﹣9x+23x﹣6,再利用換元法和二次函數(shù)的知識(shí)求出上式的最小值即可。
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用奇偶性與單調(diào)性的綜合的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案,需要掌握奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】二手車經(jīng)銷商小王對(duì)其所經(jīng)營的某一型號(hào)二手汽車的使用年數(shù)x(0<x≤10)與銷售價(jià)格y(單位:萬元/輛)進(jìn)行整理,得到如表的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù):

使用年數(shù)

2

4

6

8

10

售價(jià)

16

13

9.5

7

4.5


(1)試求y關(guān)于x的回歸直線方程;(參考公式: = =y﹣
(2)已知每輛該型號(hào)汽車的收購價(jià)格為w=0.01x3﹣0.09x2﹣1.45x+17.2萬元,根據(jù)(1)中所求的回歸方程,預(yù)測x為何值時(shí),小王銷售一輛該型號(hào)汽車所獲得的利潤L(x)最大?(利潤=售價(jià)﹣收購價(jià))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某廠擬生產(chǎn)甲、乙兩種適銷產(chǎn)品,每件產(chǎn)品甲的銷售收入為3千元,每件產(chǎn)品乙的銷售收入為4千元.這兩種產(chǎn)品都需要在A,B兩種不同的設(shè)備上加工,按工藝規(guī)定,一件產(chǎn)品甲和一件產(chǎn)品乙在各設(shè)備上需要加工工時(shí)如表所示:

設(shè)備
產(chǎn)品

A

B

2h

1h

2h

2h

已知A,B兩種設(shè)備每月有效使用臺(tái)時(shí)數(shù)分別為400h、300h(一臺(tái)設(shè)備工作一小時(shí)稱為一臺(tái)時(shí)).分別用x,y表示計(jì)劃每月生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的件數(shù).
(Ⅰ)用x,y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式,并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域;
(Ⅱ)問每月分別生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少件,可使每月的收入最大?并求出此最大收入.

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【題目】一名大學(xué)生嘗試開家小“網(wǎng)店”銷售一種學(xué)習(xí)用品,經(jīng)測算每售出1盒蓋產(chǎn)品獲利30元,未售出的商品每盒虧損10元.根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料,得到該商品的月需求量的頻率分布直方圖(如圖所示),該同學(xué)為此購進(jìn)180盒該產(chǎn)品,以x(單位:盒,100≤x≤200)表示一個(gè)月內(nèi)的市場需求量,y(單位:元)表示一個(gè)月內(nèi)經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤.

(1)根據(jù)直方圖估計(jì)這個(gè)月內(nèi)市場需求量x的平均數(shù);
(2)將y表示為x的函數(shù);
(3)根據(jù)直方圖估計(jì)這個(gè)月利潤不少于3800元的概率(用頻率近似概率).

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【題目】已知拋物線的方程為y2=4x,直線L過定點(diǎn)P(﹣2,1),斜率為k.當(dāng)k為何值時(shí)直線與拋物線:
(1)只有一個(gè)公共點(diǎn);
(2)有兩個(gè)公共點(diǎn);
(3)沒有公共點(diǎn).

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【題目】設(shè)f(x)=|ax﹣1|+|x+2|,(a>0).
(Ⅰ)若a=1,時(shí),解不等式 f(x)≤5;
(Ⅱ)若f(x)≥2,求a的最小值.

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【題目】已知函數(shù)f(x)=2cos22x﹣2,給出下列命題:
β∈R,f(x+β)為奇函數(shù);
α∈(0, ),f(x)=f(x+2α)對(duì)x∈R恒成立;
x1 , x2∈R,若|f(x1)﹣f(x2)|=2,則|x1﹣x2|的最小值為
x1 , x2∈R,若f(x1)=f(x2)=0,則x1﹣x2=kπ(k∈Z).其中的真命題有( )
A.①②
B.③④
C.②③
D.①④

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【題目】已知直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(2 , ).
(Ⅰ)求直線l以及曲線C的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),求△PAB的面積.

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【題目】在△ABC中,AC=6,cosB= ,C=
(1)求AB的長;
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