Question

設(shè)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為.
（1）若，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；
（2）求的單調(diào)區(qū)間；
（3）若為整數(shù)，若時(shí)，恒成立，試求的最大值.

Answer 1

（1）；（2）的單調(diào)減區(qū)間是：，增區(qū)間是：；（3）整數(shù)k的最大值為2.

試題分析：（1）時(shí)，，求導(dǎo)函數(shù)得，可得切線方程；（2）,當(dāng)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，通過可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若時(shí)，恒成立，只需的最小值即可，，又在單調(diào)遞增，而，知在存在唯一的零點(diǎn)，故在存在唯一的零點(diǎn)且，得.可得整數(shù)k的最大值為2.
解：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824054436302337.png" style="vertical-align:middle;" />時(shí)，，所以，
故切線方程是 
（2）的定義域?yàn)镽，，
若在上單調(diào)遞增；
若解得，
當(dāng)變化時(shí)，變化如下表：

	減	極小值	增

 
所以的單調(diào)減區(qū)間是：，增區(qū)間是：． 
（3）即  ① ，
令則．
由（1）知，函數(shù)在單調(diào)遞增，而，
所以在存在唯一的零點(diǎn)，故在存在唯一的零點(diǎn)，
且．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以
．
又由，即得，所以，
這時(shí)．
由于①式等價(jià)，故整數(shù)k的最大值為2.