【題目】已知函數(shù) (為自然對(duì)數(shù)的底數(shù), ).

(1)求的單調(diào)區(qū)間和極值;

(2)求證:當(dāng),且時(shí), .

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析.

【解析】試題分析:)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),列出變化表,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的極值即可;
)問(wèn)題等價(jià)于, 設(shè), 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

試題解析:

(1)解 由f(x)=ex-3x+3ax∈Rf′(x)=ex-3,x∈R.

f′(x)=0,得x=ln 3,

于是當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化情況如下表.

x

(-∞,ln 3)

ln 3

(ln 3,+∞)

f′(x)

0

f(x)

3(1-ln 3+a)

f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,ln 3],

單調(diào)遞增區(qū)間是[ln3,+∞),

f(x)在x=ln 3處取得極小值,極小值為f(ln 3)=eln3-3ln 3+3a=3(1-ln 3+a).

(2)證明:待證不等式等價(jià)于

設(shè),xR,

于是,xR.

由(I)及知: 的最小值為g′(ln 3)3(1ln 3a)0.

于是對(duì)任意xR,都有>0,所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增.

于是當(dāng)時(shí),對(duì)任意x∈(0,+∞),都有g(x)g(0)

g(0)=0,從而對(duì)任意x∈(0,+∞),g(x)>0.

,故.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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