【題目】已知函數(shù),其中,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)若是上的增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若,證明:.
【答案】(1)(2)見(jiàn)解析
【解析】
(1)由是上的增函數(shù)等價(jià)于恒成立,得,求的最大值,即可得到本題答案;
(2)由,證明當(dāng)時(shí),的最小值大于0,即可得到本題答案.
解:(1),是上的增函數(shù)等價(jià)于恒成立.
令,得,令.以下只需求的最大值.
求導(dǎo)得,令,,
是上的減函數(shù),又,故1是的唯一零點(diǎn),
當(dāng),,,遞增;
當(dāng),,,遞減;
故當(dāng)時(shí),取得極大值且為最大值,所以.
(2),令,
以下證明當(dāng)時(shí),的最小值大于0.
求導(dǎo)得.
①當(dāng)時(shí),,;
②當(dāng)時(shí),,令.
則,又,
取且使,即,則,
因?yàn)?/span>,故存在唯一零點(diǎn),即有唯一的極值點(diǎn)且為極小值點(diǎn),又,且,即,
故,因?yàn)?/span>,故是上的減函數(shù).
所以,所以.
綜上,當(dāng)時(shí),總有.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線C:()的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為2,直線過(guò)點(diǎn)F且與拋物線交于M、N兩點(diǎn),直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O及點(diǎn)M且與l交于點(diǎn)P,點(diǎn)Q在線段上.
(1)求直線的斜率;
(2)若,,成等差數(shù)列,求點(diǎn)Q的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某民航部門(mén)統(tǒng)計(jì)的2019年春運(yùn)期間12個(gè)城市售出的往返機(jī)票的平均價(jià)格以及相比上年同期變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表如圖所示,根據(jù)圖表,下面敘述不正確的是( )
A. 同去年相比,深圳的變化幅度最小且廈門(mén)的平均價(jià)格有所上升
B. 天津的平均價(jià)格同去年相比漲幅最大且2019年北京的平均價(jià)格最高
C. 2019年平均價(jià)格從高到低居于前三位的城市為北京、深圳、廣州
D. 同去年相比,平均價(jià)格的漲幅從高到低居于前三位的城市為天津、西安、南京
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有著“中國(guó)碳谷”之稱的安徽省淮北市,名優(yōu)特產(chǎn)眾多,其中“塔山石榴”因其青皮軟籽、籽粒飽滿、晶瑩剔透、汁多味甘而享譽(yù)天下.現(xiàn)調(diào)查表明,石榴的甜度與海拔、日照時(shí)長(zhǎng)、晝夜溫差有著極強(qiáng)的相關(guān)性,分別用表示石榴甜度與海拔、日照時(shí)長(zhǎng)、溫差的相關(guān)程度,并對(duì)它們進(jìn)行量化:0表示一般,1表示良,2表示優(yōu),再用綜合指標(biāo)的值評(píng)定石榴的等級(jí),若則為一級(jí);若則為二級(jí);若則為三級(jí).近年來(lái),周邊各地市也開(kāi)始發(fā)展石榴的種植,為了了解目前石榴在周邊地市的種植情況,研究人員從不同地市隨機(jī)抽取了12個(gè)石榴種植園,得到如下結(jié)果:
種植園編號(hào) | A | B | C | D | E | F |
種植園編號(hào) | G | H | I | J | K | L |
(1)若有石榴種植園120個(gè),估計(jì)等級(jí)為一級(jí)的石榴種植園的數(shù)量;
(2)在所取樣本的二級(jí)和三級(jí)石榴種植園中任取2個(gè),表示取到三級(jí)石榴種植園的數(shù)量,求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到點(diǎn)的距離與它到直線l:的距離d的比值為,設(shè)動(dòng)點(diǎn)P形成的軌跡為曲線C.
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線C交于A,B兩點(diǎn),設(shè),,過(guò)A點(diǎn)作,垂足為,過(guò)B點(diǎn)作,垂足為,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè),。
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(3)當(dāng)時(shí),設(shè)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),離心率為,過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),
(1)求橢圓的方程;
(2)求的取值范圍;
(3)設(shè)直線和的斜率分別為和,求證:為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),證明,,;
(2)若函數(shù)在上存在極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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