Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=xex﹣asinxcosx（a∈R，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）的極值；
（2）若對(duì)于任意的x∈[0， ]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間 上有兩個(gè)零點(diǎn)？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=xex，f′（x）=ex（x+1），

令f′（x）=0，得x=﹣1，

列表如下：

x	（﹣∞，﹣1）	﹣1	（﹣1，+∞）
f′（x）	+	0	﹣
f（x）	↘	極小值	↗

所以函數(shù)f（x）的極小值為 ，無(wú)極大值

（2）解：①當(dāng)a≤0時(shí)，由于對(duì)于任意 ，有sinxcosx≥0，

所以f（x）≥0恒成立，當(dāng)a≤0時(shí)，符合題意；

②當(dāng)0＜a≤1時(shí)，因?yàn)閒′（x）≥ex（x+1）﹣acos2x≥e0（0+1）﹣acos0=1﹣a≥0，

所以函數(shù)f（x）在 上為增函數(shù)，所以f（x）≥f（0）=0，即當(dāng)0＜a≤1，符合題意；

③當(dāng)a＞1時(shí)，f′（0）=1﹣a＜0， ，

所以存在 ，使得f′（α）=0，且在（0，α）內(nèi)，f′（x）＜0，

所以f（x）在（0，α）上為減函數(shù)，所以f（x）＜f（0）=0，

即當(dāng)a＞1時(shí)，不符合題意，

綜上所述，a的取值范圍是（﹣∞，1]

（3）解：不存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間 上有兩個(gè)零點(diǎn)，

由（2）知，當(dāng)a≤1時(shí)，f（x）在 上是增函數(shù)，且f（0）=0，

故函數(shù)f（x）在區(qū)間 上無(wú)零點(diǎn)，

當(dāng)a＞1時(shí)，f′（x）≥ex（x+1）﹣acos2x，

令g（x）=ex（x+1）﹣acos2x，g′（x）=ex（x+2）+2asin2x

當(dāng) 時(shí)，恒有g(shù)′（x）＞0，所以g（x）在 上是增函數(shù)，

由 ，

故g（x）在 上存在唯一的零點(diǎn)x0，即方程f′（x）=0在 上存在唯一解x0，

且當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng) ，f′（x）＞0，

即函數(shù)f（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，f（x）＜f（0）=0，即f（x）在（0，x0）無(wú)零點(diǎn)；

當(dāng) 時(shí)， ，

所以f（x）在 上有唯一零點(diǎn)，

所以，當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在 上有一個(gè)零點(diǎn)，

綜上所述，不存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間 上有兩個(gè)零點(diǎn)

【解析】（1）將a=0代入f（x），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，列出表格，求出函數(shù)的極值即可；（2）通過討論a的范圍，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而確定a的范圍即可；（3）求出當(dāng)a≤1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間 上無(wú)零點(diǎn)，a＞1時(shí)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到f（x）在 上有一個(gè)零點(diǎn)，從而判斷結(jié)論即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值，以及對(duì)函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．