【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線C:()的焦點(diǎn)F在直線上,平行于x軸的兩條直線,分別交拋物線C于A,B兩點(diǎn),交該拋物線的準(zhǔn)線于D,E兩點(diǎn).
(1)求拋物線C的方程;
(2)若F在線段上,P是的中點(diǎn),證明:.
【答案】(1);(2)見(jiàn)解析
【解析】
(1)根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)在直線上,可求得的值,從而求得拋物線的方程;
(2)法一:設(shè)直線,的方程分別為和且,,,可得,,,的坐標(biāo),進(jìn)而可得直線的方程,根據(jù)在直線上,可得,再分別求得,,即可得證;法二:設(shè),,則,根據(jù)直線的斜率不為0,設(shè)出直線的方程為,聯(lián)立直線和拋物線的方程,結(jié)合韋達(dá)定理,分別求出,,化簡(jiǎn),即可得證.
(1)拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,且該點(diǎn)在直線上,
所以,解得,故所求拋物線C的方程為
(2)法一:由點(diǎn)F在線段上,可設(shè)直線,的方程分別為和且,,,則,,,.
∴直線的方程為,即.
又點(diǎn)在線段上,∴.
∵P是的中點(diǎn),∴
∴,.
由于,不重合,所以
法二:設(shè),,則
當(dāng)直線的斜率為0時(shí),不符合題意,故可設(shè)直線的方程為
聯(lián)立直線和拋物線的方程,得
又,為該方程兩根,所以,,,.
,
由于,不重合,所以
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于函數(shù),,若存在,使,則稱,是函數(shù)與的一對(duì)“雷點(diǎn)”.已知,,若函數(shù)與恰有一個(gè)“雷點(diǎn)”,則實(shí)數(shù)的取值范圍為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,底面ABC,,H為PC的中點(diǎn),M為AH的中點(diǎn),.
(1)求PM與平面AHB成角的正弦值;
(2)在線段PB上是否存在點(diǎn)N,使得平面ABC.若存在,請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)N的位置,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】根據(jù)有關(guān)資料預(yù)測(cè),某市下月1—14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)如下圖所示.,根據(jù)已知折線圖,解答下面的問(wèn)題:
(1)求污染指數(shù)的眾數(shù)及前五天污染指數(shù)的平均值;(保留整數(shù))
(2)為了更好發(fā)揮空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)服務(wù)人民的目的,監(jiān)測(cè)部門(mén)在發(fā)布空氣質(zhì)量指數(shù)的同時(shí),也給出了出行建議,比如空氣污染指數(shù)大于150時(shí)需要戴口罩,超過(guò)200時(shí)建議減少外出活動(dòng)等等.如果某人事先沒(méi)有注意到空氣質(zhì)量預(yù)報(bào),而在1—12號(hào)這12天中隨機(jī)選定一天,欲在接下來(lái)的兩天中(不含選定當(dāng)天)進(jìn)行外出活動(dòng).求其外出活動(dòng)的兩天期間.
①恰好都遭遇重度及以上污染天氣的概率;
②至少有一天能避開(kāi)重度及以上污染天氣的概率.
附:空氣質(zhì)量等級(jí)參考表:
等級(jí) | 優(yōu) | 良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 嚴(yán)重污染 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在海岸線一側(cè)有一休閑游樂(lè)場(chǎng),游樂(lè)場(chǎng)的前一部分邊界為曲線段,該曲線段是函數(shù),的圖象,圖象的最高點(diǎn)為.邊界的中間部分為長(zhǎng)1千米的直線段,且.游樂(lè)場(chǎng)的后部分邊界是以為圓心的一段圓弧.
(1)求曲線段的函數(shù)表達(dá)式;
(2)如圖,在扇形區(qū)域內(nèi)建一個(gè)平行四邊形休閑區(qū),平行四邊形的一邊在海岸線上,一邊在半徑上,另外一個(gè)頂點(diǎn)在圓弧上,且,求平行四邊形休閑區(qū)面積的最大值及此時(shí)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)求與的交點(diǎn)的直角坐標(biāo);
(2)求上的點(diǎn)到直線的距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形中,點(diǎn)為邊上的點(diǎn),點(diǎn)為邊的中點(diǎn),,現(xiàn)將沿邊折至位置,且平面平面.
(1) 求證:平面平面;
(2) 求二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了了解居民的家庭收入情況,某社區(qū)組織工作人員從該社區(qū)的居民中隨機(jī)抽取了100戶家庭進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),這些家庭的月收入在3000元到10000元之間,根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)作出如圖所示的頻率分布直方圖:
(1)經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn),該社區(qū)居民的家庭月收入(單位:百元)近似地服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均數(shù).若落在區(qū)間的左側(cè),則可認(rèn)為該家庭屬“收入較低家庭”,社區(qū)將聯(lián)系該家庭,咨詢收入過(guò)低的原因,并采取相應(yīng)措施為該家庭提供創(chuàng)收途徑.若該社區(qū)家庭月收入為4100元,試判斷家庭是否屬于“收入較低家庭”,并說(shuō)明原因;
(2)將樣本的頻率視為總體的概率.
①?gòu)脑撋鐓^(qū)所有家庭中隨機(jī)抽取戶家庭,若這戶家庭月收入均低于8000元的概率不小于50%,求的最大值;
②在①的條件下,某生活超市贊助了該社區(qū)的這次調(diào)查活動(dòng),并為這次參與調(diào)查的家庭制定了贈(zèng)送購(gòu)物卡的活動(dòng),贈(zèng)送方式為:家庭月收入低于的獲贈(zèng)兩次隨機(jī)購(gòu)物卡,家庭月收入不低于的獲贈(zèng)一次隨機(jī)購(gòu)物卡;每次贈(zèng)送的購(gòu)物卡金額及對(duì)應(yīng)的概率分別為:
贈(zèng)送購(gòu)物卡金額(單位:元) | 100 | 200 | 300 |
概率 |
則家庭預(yù)期獲得的購(gòu)物卡金額為多少元?(結(jié)果保留整數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線在處的切線方程;
(Ⅱ)求函數(shù)在上的最小值;
(Ⅲ)若函數(shù),當(dāng)時(shí), 的最大值為,求證: .
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