【題目】（本小題滿分12分）已知橢圓短軸的兩個頂點與右焦點的連線構(gòu)成等邊三角形，直線與圓相切.

（1）求橢圓的方程;

（2）已知橢圓的左頂點的兩條直線分別交橢圓于兩點,且,求證:直線過定點,并求出定點坐標；

（3）在（2）的條件下求面積的最大值.

【答案】（1）;（2）過定點，證明見解析；（3）

【解析】

試題分析：（1）由已知列出方程組，解出的值即可；（2）設(shè)，

,聯(lián)立直線與橢圓組成的方程組，求出點與點，當時，過點直線過定點過定點，當時，直線過定點過定點，所以可得直線過定點；（3）由（2）寫出三角形的面積表達式,由基本不等式可求其最大值.

試題解析：（1）由題意 即

（2）設(shè)，

由得

同理

i）時，過定點

ii）時過點過定點

（3）由（2）知

令時取等號時去等號，

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,若多次噴灑，則某一時刻空氣中的去污劑濃度為每次投放的去污劑在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和. 由實驗知，當空氣中去污劑的濃度不低于（毫克/立方米）時，它才能起到去污作用.

（1）若一次噴灑個單位的去污劑，則去污時間可達幾天？

（2）若第一次噴灑個單位的去污劑，天后再嗩灑個單位的去污劑，要使接來的天中能夠持續(xù)有效去污，試求的最小值（精確到，參考數(shù)據(jù): 取）.

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