Question

如圖（1），四邊形ABCD為等腰梯形，AB∥CD，E，F(xiàn)分別為AB、CD的中點(diǎn)，且AB=4，CD=2，EF=1，現(xiàn)將四邊形BCEF沿EF折起到四邊形B₁C₁FE的位置，如圖（2），使平面B₁C₁FE⊥平面AEFD．
（1）求證：C₁F∥平面AEB₁；
（2）求證：AD⊥平面B₁ED；
（3）線段B₁D上是否存在一點(diǎn)G，使EG⊥平面AB₁D，若存在求

B1G

GD

的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由C₁F∥B₁E，證明C₁F∥平面AEB₁；
（2）由AD⊥DE，B₁E⊥AD，且B₁E∩DE=E，證明AD⊥平面B₁ED；
（3）假設(shè)線段B₁D上存在一點(diǎn)G，使EG⊥平面AB₁D，得出EG⊥B₁D即可，畫出Rt△B₁ED，EG⊥B₁D，求出B₁G與GD的值即可．

解答： 解：（1）證明：∵C₁F∥B₁E，
C₁F?平面AEB₁，
B₁E?平面AEB₁，
∴C₁F∥平面AEB₁；
（2）∵AE=

1

2

AB=2，DE=

EF2+FD2

=

12+( 2 2 )2

=

2

，AD=

12+12

=2；
∴AB²=DE²+AD²，
∴AD⊥DE；
∵B₁E⊥EF，平面B₁C₁FE⊥平面AEFD，
B₁E?平面B₁C₁FE，平面B₁C₁FE∩平面AEFD=EF，
∴B₁E⊥平面AEFD，
AD?平面AEFD，
∴B₁E⊥AD；
又B₁E∩DE=E，
B₁E?平面B₁ED，ED?平面B₁ED，
∴AD⊥平面B₁ED；
（3）設(shè)線段B₁D上存在一點(diǎn)G，使EG⊥平面AB₁D，
∵AD⊥平面B₁ED，
EG?平面B₁ED，
∴AD⊥EG；
只需過E點(diǎn)作EG⊥B₁D，垂足為G，
∴EG⊥平面AB₁D；
在Rt△B₁ED中，EG⊥B₁D，如圖所示；
∴B₁D=

B1E2+ED2

=

6

，
∴EG=

B1E•ED

BD

=

2× 2

6

=

2

3

，
∴B₁G=

B1E2-ED2

=

8 3

，
GD=

ED2-EG2

=

2 3

；
∴

B1G

GD

=2；
即線段B₁D上存在一點(diǎn)G，使EG⊥平面AB₁D，且

B1G

GD

=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間中的平行與垂直的應(yīng)用問題，也考查了空間想象能力與邏輯推理能力，是綜合性題目．