Question

已知直線m和直線n所成的角的大小為50°，P為空間中任意一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P且與直線m和直線n所成的角都是25°的直線的條數(shù)為（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角

專(zhuān)題：空間角

分析：利用線面角的概念及角平分線的性質(zhì)，分析出所求直線二面角的平分面上，再根據(jù)線面角的大小變化確定出直線條數(shù)．

解答： 解：首先給出下面兩個(gè)結(jié)論
①兩條平行線與同一個(gè)平面所成的角相等．
②與二面角的兩個(gè)面成等角的直線在二面角的平分面上．
（1）如圖，過(guò)二面角α-l-β內(nèi)任一點(diǎn)作棱l的垂面AOB，交棱于點(diǎn)O，與兩半平面交于OA，OB，則∠AOB為二面角α-l-β的平面角，
∠AOB=50°
設(shè)OP₁為∠AOB的平分線，則∠P₁OA=∠P₁OB=25°，
與平面α，β所成的角都是25°，
此時(shí)過(guò)P且與OP₁平行的直線符合要求，有一條．
當(dāng)OP₁以O(shè)為軸心，在二面角α-l-β的平分面上轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，OP₁與兩平面夾角變小，
不再會(huì)出現(xiàn)25°情形．
（2）如圖，設(shè)OP₂為∠AOB的補(bǔ)角∠AOB′，
則∠P₂OA=∠P₂OB=65°，
與平面α，β所成的角都是65°．
當(dāng)OP₂以O(shè)為軸心，
在二面角α-l-β′的平分面上轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，
OP₂與兩平面夾角變小，
對(duì)稱(chēng)地在圖中OP₂兩側(cè)會(huì)出現(xiàn)25°情形，有兩條．
此時(shí)過(guò)P且與OP₂平行的直線符合要求，有兩條．
綜上所述，直線的條數(shù)共有三條．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查滿足條件的直線條數(shù)的求法，是中檔題題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類(lèi)討論思想的合理運(yùn)用．