如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD與BDEF是邊長均為a的菱形，F(xiàn)A=FC
（1）求證：AC⊥平面BDEF
（2）求證：FC∥平面EAD
（3）當FB與底面ABCD成45°角時，求該幾何體的體積．
考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定
專題：綜合題,空間位置關系與距離
分析：（1）由AC⊥BD，AC⊥FO，且FO∩BD=O，證明AC⊥平面BDEF；
（2）由AD∥BC，DE∥BF，證明平面FBC∥平面EAD，再證明FC∥平面EAD；
（3）求出菱形BDEF的面積S菱形BDEF，再根據(jù)該幾何體是兩個直三棱錐的組合體，求出它的體積．
解答： 解：（1）證明：設AC與BD相交于點O，
連接FO．因為四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD，且O為AC中點；
又FA=FC，所以AC⊥FO；
因為FO∩BD=O，
所以AC⊥平面BDEF；
（2）證明：因為四邊形ABCD與BDEF均為菱形，
所以AD∥BC，DE∥BF，
所以平面FBC∥平面EAD；
又FC?平面FBC，所以FC∥平面EAD；
（3）因為四邊形ABCD與BDEF是邊長均為a的菱形，
且FB與底面ABCD成45°角，
∴菱形BDEF的面積是S菱形BDEF=a2sin45°=
2
2
a2；
正△ABD中，OA=
3
2
a，
∴該幾何體的體積為
V=
1
3
S菱形BDEF•2OA=
1
3
•
2
2
a2•2•
3
2
a=
6
6
a3．
點評：本題考查了空間中的垂直與平行的應用問題，也考查了求空間組合體的體積的應用問題，是綜合性題目．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）定義如表，數(shù)列{xn}滿足x0=5，且對任意自然數(shù)均有xn+1=f（xn），則x2012的值為（　�。�
x12345
f（x）51342
A、1B、2C、4D、5

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a、b都是正實數(shù)，且a+b=6，則ab的最大值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=AC=BC，則PC與AB成角的大小是（　　）
A、30°B、60°
C、120°D、90°

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求下列函數(shù)的最大值和最小值，并寫出取得最大值和最小值時的自變量x的值．
（1）y=2sinx，x∈[-
π
6
，π]；
（2）y=3cosx，x∈（-
π
6
，
4π
3
]；
（3）y=-
1
2
sinx，x∈（-
5π
6
，
3π
4
）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖（1），四邊形ABCD為等腰梯形，AB∥CD，E，F(xiàn)分別為AB、CD的中點，且AB=4，CD=2，EF=1，現(xiàn)將四邊形BCEF沿EF折起到四邊形B1C1FE的位置，如圖（2），使平面B1C1FE⊥平面AEFD．
（1）求證：C1F∥平面AEB1；
（2）求證：AD⊥平面B1ED；
（3）線段B1D上是否存在一點G，使EG⊥平面AB1D，若存在求
B1G
GD
的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且a2=2，a1，a3，a9成等比數(shù)列． 求數(shù)列{an}的通項公式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=cos（2x+
π
6
）+sin2x．
（1）求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）若f（
1
2
α-
π
6
）=
1
3
，且α∈（
π
2
，π），求f（α）的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知（sinx-2cosx）（3+sinx+cosx）=0，則
sin2x+2cos2x
1+tanx
的值為（　�。�
A、
8
5
B、
5
8
C、
2
5
D、
5
2

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