Question

已知曲線P：

x2

m-1

+

y2

6-m

=1（m≠1且m≠6）．
（Ⅰ）指出曲線P表示的圖形的形狀；
（Ⅱ）當(dāng)m=5時(shí)，過(guò)點(diǎn)M（1，0）的直線l與曲線P交于A，B兩點(diǎn)．
①若

MA

=-2

MB

，求直線l的方程；
②求△OAB面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）通過(guò)對(duì)M的討論，直接判斷曲線圖形的形狀．
（Ⅱ）當(dāng)m=5時(shí)，求出的方程，①設(shè)出過(guò)點(diǎn)M（1，0）的直線l的方程，與曲線P聯(lián)立方程組，是A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理．結(jié)合

MA

=-2

MB

，即可求直線l的方程；
②求出弦長(zhǎng)，利用點(diǎn)到直線的距離求出三角形的高，然后表示出△OAB面積，利用換元法以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出三角形的面積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ） 當(dāng)1＜m＜

7

2

時(shí)，曲線P表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，
當(dāng)m=

7

2

時(shí)，曲線P表示圓，
當(dāng)

7

2

＜m＜6時(shí)，曲線P表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓．…（4分）
（Ⅱ）當(dāng)m=5時(shí)，曲線P為

x2

4

+y²=1，表示橢圓，
①依題意可知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l：x=λy+1，A（x₁，y₁） B（x₂，y₂），
由

x2

4

+y²=1消去x得（λ²+4）y²+2λy-3=0，
△＞0，由韋達(dá)定理得

y1+y2= -2λ λ2+4 …① y1•y2= -3 λ2+4 …②

，
由

MA

=-2

MB

得，y₁=-2y₂代入①②得

-y2= -2λ λ2+4 -2y22= -3 λ2+4

，…（7分）
故

8λ2

(λ2+4)2

=

3

λ2+4

⇒λ²=

12

5

⇒λ=±

2 15

5

．
即直線l的方程為x±

2 15

5

y-1=0．…（9分）
②S_△OAB=S_△OMA+S_△OMB=

1

2

|OM|•|y₁-y₂|=

1

2

|y₁-y₂|
=

1

2

(y1+y2)2-4y1y2

=

16λ2+48

2(λ2+4)

=

2 λ2+3

λ2+4

=

2 λ2+3

λ2+3+1

，
令

λ2+3

=t（t≥

3

），S（t）=

2t

t2+1

，
當(dāng)t∈[

3

，+∞）時(shí)，S′（t）=

2(t2+1)-4t2

(t2+1)2

=

2-2t2

(t2+1)2

＜0，
故y=S（t）在t∈[

3

，+∞）時(shí)單調(diào)遞減，
當(dāng)t=

3

，即λ=0時(shí)，S_△ABO有最大值為

3

2

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線方程的綜合應(yīng)用，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及最值的求法，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．