已知函數(shù),,其中m∈R.
(1)若0<m≤2,試判斷函數(shù)f (x)=f1 (x)+f2 (x)的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;
(2)設(shè)函數(shù) 若對任意大于等于2的實數(shù)x1,總存在唯一的小于2的實數(shù)x2,使得g (x1) =" g" (x2) 成立,試確定實數(shù)m的取值范圍.
(1)單調(diào)減函數(shù),(2)(0,4).

試題分析:(1)兩個函數(shù)獨立,可分別論證函數(shù)上單調(diào)遞減,再得函數(shù)f(x)為單調(diào)減函數(shù).因為,所以當0<m≤2,x≥2時,,從而函數(shù)f(x)為單調(diào)減函數(shù).(2)結(jié)合圖形分析,可知討論點為當 m≤0時,所以g (x1) =" g" (x2)不成立.當0<m<2時,,,所以g (x1) =" g" (x2)恒成立.當2≤m<4時,,,所以g (x1) =" g" (x2)恒成立.當m≥4時,不成立.
解:(1)f (x)為單調(diào)減函數(shù).
證明:由0<m≤2,x≥2,可得
==
,
且0<m≤2,x≥2,所以.從而函數(shù)f(x)為單調(diào)減函數(shù).  
(亦可先分別用定義法或?qū)?shù)法論證函數(shù)上單調(diào)遞減,再得函數(shù)f(x)為單調(diào)減函數(shù).)
(2)①若m≤0,由x1≥2,,
x2<2,,
所以g (x1) =" g" (x2)不成立.                  
②若m>0,由x>2時,
所以g(x)在單調(diào)遞減.從而,即
(a)若m≥2,由于x<2時,,
所以g(x)在(-∞,2)上單調(diào)遞增,從而,即
要使g (x1) =" g" (x2)成立,只需,即成立即可.
由于函數(shù)的單調(diào)遞增,且h(4)=0,
所以2≤m<4.                           
(b)若0<m<2,由于x<2時,
所以g(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
從而,即
要使g (x1) =" g" (x2)成立,只需成立,即成立即可.
由0<m<2,得
故當0<m<2時,恒成立.      
綜上所述,m為區(qū)間(0,4)上任意實數(shù).    
練習(xí)冊系列答案
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A.0B.2C.D.3

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