【題目】在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,BD⊥DC,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn).將△ABD沿BD折起,使AB⊥AC,連接AE,AC,DE,得到三棱錐A-BCD.
(1)求證:平面ABD⊥平面BCD
(2)若AD=1,二面角C-AB-D的余弦值為,求二面角B-AD-E的正弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)由AB⊥AC和AB⊥AD,可得AB⊥平面ADC,所以AB⊥CD,而BD⊥DC,所以CD⊥平面ADB,從而可證得平面ABD⊥平面BCD;
(2)由AB⊥平面ADC,可知二面角C-AB-D的平面角為∠CAD,由二面角C-AB-D的余弦值為,解出AB,建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,求出平面ABD的法向量,平面AED的法向量,即可得二面角B-AD-E的正弦值
(1)證明:因?yàn)橹苯翘菪?/span>ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,
所以AB⊥AD,
因?yàn)?/span>AB⊥AC,,所以AB⊥平面ADC,
所以AB⊥CD,
因?yàn)?/span>BD⊥DC, ,
所以CD⊥平面ADB,
因?yàn)?/span>CD在平面BCD內(nèi),
所以平面ABD⊥平面BCD
(2)由(1)知AB⊥平面ADC,
所以二面角C-AB-D的平面角為∠CAD,
因?yàn)?/span>CD⊥平面ADB,所以AD⊥CD,
所以,得,所以,
設(shè),則,
由題意可知,所以,即,解得,
所以,
如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則
,
所以,
因?yàn)?/span>CD⊥平面ADB,所以令平面ADB的法向量為,
設(shè)平面AED的法向量為,則
,即,
取,則,
設(shè)二面角B-AD-E的平面角為,
則,
所以,
所以二面角B-AD-E的正弦值為,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】垃圾分類是對(duì)垃圾進(jìn)行有效處置的一種科學(xué)管理方法.太原市為推進(jìn)這項(xiàng)工作的實(shí)施,開展了“垃圾分類進(jìn)小區(qū)”的評(píng)比活動(dòng).現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)小區(qū)采取不同的宣傳與倡導(dǎo)方式對(duì)各自小區(qū)居民進(jìn)行了有關(guān)垃圾分類知識(shí)的培訓(xùn),并參加了評(píng)比活動(dòng),評(píng)委會(huì)隨機(jī)從兩個(gè)小區(qū)各選出20戶家庭進(jìn)行評(píng)比打分,每戶成績(jī)滿分為100分,評(píng)分后得到如下莖葉圖.
(1)依莖葉圖判斷哪個(gè)小區(qū)的平均分高?
(2)現(xiàn)從甲小區(qū)不低于80分的家庭中隨機(jī)抽取兩戶,求分?jǐn)?shù)為87的家庭至少有一戶被抽中的概率;
(3)如果規(guī)定分?jǐn)?shù)不低于85分的家庭為優(yōu)秀,請(qǐng)?zhí)顚懴旅娴?/span>列聯(lián)表,并判斷“能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為得分是否優(yōu)秀與小區(qū)宣傳培訓(xùn)方式有關(guān)?”
甲 | 乙 | 合計(jì) | |
優(yōu)秀 | |||
不優(yōu)秀 | |||
合計(jì) |
參考公式和數(shù)據(jù):,其中.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年1月1日,我國(guó)開始施行《個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣除操作辦法》,附加扣除的專項(xiàng)包括子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貨款利息、住房租金、贍養(yǎng)老人.某單位有老年員工140人,中年員工180人,青年員工80人,現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從該單位員工中抽取20人,調(diào)查享受個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣除的情況,并按照員工類別進(jìn)行各專項(xiàng)人數(shù)匯總,數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下:
員工\人數(shù)\專項(xiàng) | 子女教育 | 繼續(xù)教育 | 大病醫(yī)療 | 住房貸款利息 | 住房租金 | 贍養(yǎng)老人 |
老員工 | 4 | 0 | 2 | 2 | 0 | 3 |
中年員工 | 8 | 2 | 1 | 5 | 1 | 8 |
青年員工 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 | 1 |
(Ⅰ)在抽取的20人中,老年員工、中年員工、青年員工各有多少人;
(Ⅱ)從上表享受住房貨款利息專項(xiàng)扣除的員工中隨機(jī)選取2人,求選取2人都是中年員工的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)是無窮數(shù)列,若存在正整數(shù)k,使得對(duì)任意,均有,則稱是間隔遞增數(shù)列,k是的間隔數(shù),下列說法正確的是( )
A.公比大于1的等比數(shù)列一定是間隔遞增數(shù)列
B.已知,則是間隔遞增數(shù)列
C.已知,則是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是2
D.已知,若是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是3,則
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正方體棱長(zhǎng)為,如圖,為上的動(dòng)點(diǎn),平面.下面說法正確的是( )
A.直線與平面所成角的正弦值范圍為
B.點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),平面截正方體所得的截面,其面積越大,周長(zhǎng)就越大
C.點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí),若平面經(jīng)過點(diǎn),則平面截正方體所得截面圖形是等腰梯形
D.己知為中點(diǎn),當(dāng)的和最小時(shí),為的中點(diǎn)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,由直三棱柱和四棱錐構(gòu)成的幾何體中,,平面平面.
(1)求證:;
(2)在線段上(含端點(diǎn))是否存在點(diǎn)P,使直線與平面所成的角的正弦值為?若存在,求的值,若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是坐標(biāo)系的原點(diǎn),是拋物線的焦點(diǎn),過點(diǎn)的直線交拋物線于,兩點(diǎn),弦的中點(diǎn)為,的重心為.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;
(2)設(shè)(1)中的軌跡與軸的交點(diǎn)為,當(dāng)直線與軸相交時(shí),令交點(diǎn)為,求四邊形的面積最小時(shí)直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),其中.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】干支紀(jì)年法是中國(guó)歷法上自古以來就一直使用的紀(jì)年方法、干支是天干和地支的總稱,甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸為天干:子、丑、寅、卯、辰、已、午、未,申、西、戌、亥為地支.把十天干和十二地支依次相配,如甲對(duì)子、乙對(duì)丑、丙對(duì)寅、…癸對(duì)寅,其中天干比地支少兩位,所以天干先循環(huán),甲對(duì)戊、乙對(duì)亥、…接下來地支循環(huán),丙對(duì)子、丁對(duì)丑、.,以此用來紀(jì)年,今年2020年是庚子年,那么中華人民共和國(guó)建國(guó)100周年即2049年是( )
A.戊辰年B.己巳年C.庚午年D.庚子年
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