【題目】已知橢圓的離心率為,右焦點(diǎn)到直線的距離為.

1)求橢圓的方程;

2)過(guò)點(diǎn)作與坐標(biāo)軸不垂直的直線與橢圓交于兩點(diǎn),在軸上是否存在點(diǎn),使得為正三角形,若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】1.2)在軸上是存在點(diǎn),坐標(biāo)為,

【解析】

1)因?yàn)闄E圓的離心率為,可得,右焦點(diǎn)到直線的距離為,故,即可求得答案;

2)設(shè)線段的中點(diǎn),若是正三角形,,結(jié)合已知,即可求得答案.

1橢圓的離心率為

,可得

右焦點(diǎn)到直線的距離為.

①當(dāng)時(shí),將代入

可得

整理可得:

解得:(舍去)或

,可得,即

根據(jù)

可得:

②當(dāng)時(shí),將代入

可得

整理可得:

方程無(wú)解

2過(guò)點(diǎn)作與坐標(biāo)軸不垂直的直線

設(shè)直線的方程為

聯(lián)立直線的方程和橢圓方程可得:,消掉

可得:

根據(jù)韋達(dá)定理可得:

設(shè)線段的中點(diǎn),

是正三角形

根據(jù),可得

可得:

可得:,解得:

設(shè),將其代入

可得

可得

故在軸上是存在點(diǎn),使得為正三角形,坐標(biāo)為

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的解集為;

,,都有.

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分組(花費(fèi))

頻數(shù)

6

22

25

35

8

4

男性

女性

合計(jì)

健身花費(fèi)不超過(guò)2400

23

健身花費(fèi)超過(guò)2400

20

合計(jì)

1)完善二聯(lián)表中的數(shù)據(jù);

2)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)情況,判斷是否有99%的把握認(rèn)為健身的花費(fèi)超過(guò)2400元與性別有關(guān);

3)求這100名被調(diào)查者一年健身的平均花費(fèi)(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值代替).

附:

P(K2k)

0.10

0.05

0.025

0.01

k

2.706

3.841

5.024

6.635

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