Question

【題目】一個(gè)袋中有若干個(gè)大小相同的黑球、白球和紅球．已知從袋中任意摸出1個(gè)球，得到黑球的概率是 ；從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是 ． （Ⅰ）若袋中共有10個(gè)球，
（i）求白球的個(gè)數(shù)；
（ii）從袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ．
（Ⅱ）求證：從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)黑球的概率不大于 ．并指出袋中哪種顏色的球個(gè)數(shù)最少．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）（i）記“從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球”為事件A， 設(shè)袋中白球個(gè)數(shù)為x，則P（A）=1﹣ = ，
解得x=5，∴白球個(gè)數(shù)是5個(gè)．
（ii）隨機(jī)變量ξ的取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）= = = ，
P（ξ=1）= = ，
P（ξ=2）= ，
P（ξ=3）= = = ，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P

Eξ= = ．
證明：（Ⅱ）設(shè)袋中有n個(gè)球，其中y個(gè)黑球，
由題意，得y= n，
∴2y＜n，2y≤n﹣1，
∴ ，
記“從袋中任意取出兩個(gè)球，至少有1個(gè)黑球”為事件B，
則P（B）= ，
∴白球的個(gè)數(shù)比黑球多，白球個(gè)數(shù)多于 ，黑球個(gè)數(shù)少于 ，
故袋中紅球個(gè)數(shù)最少
【解析】（Ⅰ）設(shè)袋中白球個(gè)數(shù)為x，由對(duì)立事件概率計(jì)算公式得：1﹣ = ，由此能求出白球個(gè)數(shù)．（ii）隨機(jī)變量ξ的取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ（Ⅱ）設(shè)袋中有n個(gè)球，其中y個(gè)黑球，由題意，得y= n，從而2y＜n，2y≤n﹣1，進(jìn)而 ，由此能證明從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)黑球的概率不大于 ．并得到袋中哪種顏色的球個(gè)數(shù)最少．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的離散型隨機(jī)變量及其分布列，需要了解在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱(chēng)表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱(chēng)分布列才能得出正確答案．