如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是平行四邊形，且AC⊥CD，PA=AD，M，Q分別是PD，BC的中點(diǎn)．

（1）求證：MQ∥平面PAB；
（2）若AN⊥PC，垂足為N，求證：MN⊥PD．

（1）取PA的中點(diǎn)E，連結(jié)EM、BE，根據(jù)三角形的中位線定理證出ME∥AD且ME=AD，平行四邊形中Q是BC的中點(diǎn)，可得BQ∥AD且BQ=AD，因此四邊形MQBE是平行四邊形，可得MQ∥BE，再結(jié)合線面平行的判定定理可得MQ∥平面PAB；
（2）由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥CD，結(jié)合AC⊥CD可得CD⊥平面PAC，從而有AN⊥CD．又因?yàn)锳N⊥PC，結(jié)合PC、CD是平面PCD內(nèi)的相交直線，可得AN⊥平面PCD，從而得到AN⊥PD．等腰△PAD中利用“三線合一”，證出AM⊥PD，結(jié)合AM、AN是平面AMN內(nèi)的相交直線，得到PD⊥平面AMN，從而得到MN⊥PD．

解析試題分析：（1）取PA的中點(diǎn)E，連結(jié)EM、BE，
∵M(jìn)是PD的中點(diǎn)，∴ME∥AD且ME=AD，
又∵Q是BC中點(diǎn)，∴BQ=BC，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC∥AD且BC=AD，可得BQ∥ME且BQ=ME，
∴四邊形MQBE是平行四邊形，可得MQ∥BE，…（4分）
∵BE?平面PAB，MQ?平面PAB，
∴MQ∥平面PAB；…（6分）
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，
又∵AC⊥CD，PA、AC是平面PAC內(nèi)的相交直線，
∴CD⊥平面PAC，結(jié)合AN?平面PAC，得AN⊥CD． …（9分）
又∵AN⊥PC，PC、CD是平面PCD內(nèi)的相交直線，
∴AN⊥平面PCD，結(jié)合PD?平面PCD，可得AN⊥PD，…（12分）
∵PA=AD，M是PD的中點(diǎn)，∴AM⊥PD，…（13分）
又∵AM、AN是平面AMN內(nèi)的相交直線，∴PD⊥平面AMN，
∵M(jìn)N?平面AMN，∴MN⊥PD．…（14分）

考點(diǎn)：本題在四棱錐中證明線面平行、線線垂直．著重考查了三角形中位線定理、空間直線與平面平行的判定定理、直線與平面垂直的判定與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖, 三棱柱ABC－A1B1C1中, 側(cè)棱A1A⊥底面ABC,且各棱長均相等. D, E, F分別為棱AB, BC, A1C1的中點(diǎn).

(Ⅰ) 證明EF//平面A1CD;
(Ⅱ) 證明平面A1CD⊥平面A1ABB1;
(Ⅲ) 求直線BC與平面A1CD所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在如圖所示的多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
且AC=AD=CD=DE=2，AB=1．

（Ⅰ）請?jiān)诰�段CE上找到點(diǎn)F的位置，使得恰有直線BF∥平面ACD，并證明這一事實(shí)；
（Ⅱ）求多面體ABCDE的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在長方體中，，過、、三點(diǎn)的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體，且這個幾何體的體積為．

（1）求棱的長；
（2）求點(diǎn)到平面的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知⊙所在的平面，是⊙的直徑，，C是⊙上一點(diǎn)，且，．

(1) 求證：；
(2) 求證：；
(3)當(dāng)時，求三棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知四棱錐P-ABCD的直觀圖（如圖(1)）及左視圖（如圖(2)），底面ABCD是邊長為2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB。

(1)求證：AD⊥PB；
(2)求異面直線PD與AB所成角的余弦值；
(3)求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在多面體中，四邊形是正方形，，，且，二面角是直二面角

（1）求證：平面；
（2）求證：平面。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝4，AB＝2，E、F分別在BC、AD上，EF∥AB．現(xiàn)將四邊形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF平面EFDC．

(Ⅰ) 當(dāng)，是否在折疊后的AD上存在一點(diǎn)，且，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；
(Ⅱ) 設(shè)BE＝x，問當(dāng)x為何值時，三棱錐ACDF的體積有最大值？并求出這個最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖,已知菱形所在平面與直角梯形所在平面互相垂直，，點(diǎn),分別是線段,的中點(diǎn).

(I)求證：平面 平面;
(Ⅱ)點(diǎn)在直線上，且//平面，求平面與平面所成角的余弦值。

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