【題目】已知平行四邊形中,,平面平面,三角形為等邊三角形,.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)若平面
①求異面直線與所成角的余弦值;
②求二面角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)見(jiàn)解析;(Ⅱ)①;②.
【解析】
(Ⅰ)先證明,以為原點(diǎn),為軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量的數(shù)量積為零可得,,從而平面,再由面面垂直的判定定理可得結(jié)果;(Ⅱ)設(shè),利用,求得,①求出,的坐標(biāo),利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果;②利用向量垂直數(shù)量積為零列方程,分別求出平面的法向量與平面的法向量,由空間向量夾角余弦公式求得二面角的余弦值,進(jìn)而可得結(jié)果.
(Ⅰ)
平行四邊形中
∵,,
由余弦定理可得,
由勾股定理可得,
如圖,以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系
∴,,,,
∴,,
∴,,∴,.
又,∴平面.
又∵平面,∴平面平面.
(Ⅱ)∵,∴設(shè)
∴,.
∵平面,∴,∴,∴.
∴.
①,
∴
∴異面直線與所成角的余弦值為.
②設(shè)為平面的法向量,則
可得,
設(shè)為平面的法向量,則
可得,
∴,
∴二面角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】 下列結(jié)論錯(cuò)誤的是
A. 命題:“若,則”的逆否命題是“若,則”
B. “”是“”的充分不必要條件
C. 命題:“, ”的否定是“, ”
D. 若“”為假命題,則均為假命題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】今年入夏以來(lái),我市天氣反復(fù),降雨頻繁.在下圖中統(tǒng)計(jì)了上個(gè)月前15天的氣溫,以及相對(duì)去年同期的氣溫差(今年氣溫-去年氣溫,單位:攝氏度),以下判斷錯(cuò)誤的是()
A.今年每天氣溫都比去年氣溫高B.今年的氣溫的平均值比去年低
C.去年8-11號(hào)氣溫持續(xù)上升D.今年8號(hào)氣溫最低
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性并指出相應(yīng)單調(diào)區(qū)間;
(2)若,設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn),若,且恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】研學(xué)旅行是研究性學(xué)習(xí)和旅行體驗(yàn)相結(jié)合的校外教育活動(dòng),繼承和發(fā)展了我國(guó)傳統(tǒng)游學(xué)、“讀萬(wàn)卷書(shū),行萬(wàn)里路”的教育理念和人文精神,成為素質(zhì)教育的新內(nèi)容和新方式,提升中小學(xué)生的自理能力、創(chuàng)新精神和實(shí)戰(zhàn)能力,是綜合實(shí)戰(zhàn)育人的有效途徑,為了了解某校高二年級(jí)600名學(xué)生在一次研學(xué)旅行活動(dòng)中的武術(shù)表演情況,研究人員在該校高二學(xué)生中隨機(jī)抽取了10名學(xué)生的武術(shù)表演成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示(滿分100分),已知這10名學(xué)生或武術(shù)表演的平均成績(jī)?yōu)?/span>85分.
(1)求m的值;
(2)為了研究高二男、女生的武術(shù)表演情況,現(xiàn)對(duì)該校高二所有學(xué)生的武術(shù)表演成績(jī)進(jìn)行分類(lèi)統(tǒng)計(jì),得到的數(shù)據(jù)如下表所示:
男生 | 女生 | 合計(jì) | |
武術(shù)表演成績(jī)超過(guò)80分 | 150 | ||
武術(shù)表演成績(jī)不超過(guò)80分 | 100 | ||
合計(jì) |
已知隨機(jī)抽取這600名學(xué)生中的一名學(xué)生,抽到武術(shù)表演成績(jī)超過(guò)80分的學(xué)生概率是,根據(jù)已知條件完成上面列聯(lián)表,并據(jù)此判斷是否有的把握認(rèn)為武術(shù)表演成績(jī)超過(guò)80分與性別具有相關(guān)性.
參考公式:,其中.
臨界值表:
P() | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某運(yùn)動(dòng)員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布如下:
7 | 8 | 9 | 10 | ||
0 |
現(xiàn)進(jìn)行兩次射擊,以該運(yùn)動(dòng)員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績(jī),記為.
(Ⅰ)求該運(yùn)動(dòng)員兩次都命中7環(huán)的概率.
(Ⅱ)求的分布列及其數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在某親子游戲結(jié)束時(shí)有一項(xiàng)抽獎(jiǎng)活動(dòng),抽獎(jiǎng)規(guī)則是:盒子里面共有4個(gè)小球,小球上分別寫(xiě)有0,1,2,3的數(shù)字,小球除數(shù)字外其他完全相同,每對(duì)親子中,家長(zhǎng)先從盒子中取出一個(gè)小球,記下數(shù)字后將小球放回,孩子再?gòu)暮凶又腥〕鲆粋(gè)小球,記下小球上數(shù)字將小球放回.抽獎(jiǎng)活動(dòng)的獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則是:①若取出的兩個(gè)小球上數(shù)字之積大于4,則獎(jiǎng)勵(lì)飛機(jī)玩具一個(gè);②若取出的兩個(gè)小球上數(shù)字之積在區(qū)間上,則獎(jiǎng)勵(lì)汽車(chē)玩具一個(gè);③若取出的兩個(gè)小球上數(shù)字之積小于1,則獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶.
(1)求每對(duì)親子獲得飛機(jī)玩具的概率;
(2)試比較每對(duì)親子獲得汽車(chē)玩具與獲得飲料的概率,哪個(gè)更大?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若的定義域,值域都是,求的值;
(2)當(dāng)時(shí),討論在區(qū)間上的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為.已知橢圓的離心率為,且以線段為直徑的圓被直線所截得的弦長(zhǎng)為.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn),且點(diǎn)在第一象限,點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn),直線與直線交于點(diǎn),若直線斜率大于,求直線的斜率的取值范圍.
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