Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若的定義域，值域都是，求的值；

（2）當(dāng)時(shí)，討論在區(qū)間上的值域.

Answer 1

【答案】（1）實(shí)數(shù)不存在在；（2）當(dāng)時(shí)，值域?yàn)椋?/span>；

當(dāng)，值域?yàn)?/span>；

當(dāng)時(shí)，值域?yàn)椋?/span>.

【解析】

（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，結(jié)合已知和一元二次不等式解集的性質(zhì)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可；

（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合所給的區(qū)間，分類討論進(jìn)行求解即可.

（1）因?yàn)?/span>的定義域是，所以在實(shí)數(shù)集上恒成立，故一元二次方程的根的判別式；

的值域是，說明能取遍所有的正實(shí)數(shù)，因此一元二次方程的根的判別式，顯然這與剛得到矛盾，故不存在這樣的實(shí)數(shù)；

（2）因?yàn)?/span>，所以，函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?/span>1的全體實(shí)數(shù)，故區(qū)間的右端點(diǎn)不能等于1，即且，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)，故函數(shù)的最大值為，函數(shù)的最小值為：，因此函數(shù)的值域?yàn)椋?/span>；

當(dāng)，函數(shù)沒有單調(diào)性，故函數(shù)的最大值為，而，所以函數(shù)的值域?yàn)?/span>；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為：，而，所以函數(shù)的值域?yàn)椋?/span>

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