Question

（2013•廣元一模）已知橢圓C過點A(1，

3

2

)，兩個焦點為F₁（-1，0）、F₂（1，0）．
①求橢圓C的方程；
②過點A的直線l交橢圓C于另一點B，若點M的橫坐標(biāo)為-

1

2

_，且滿足

OA

+

OB

=

2OM

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：①設(shè)橢圓C的方程，利用橢圓C過點A(1，

3

2

)，兩個焦點為F₁（-1，0）、F₂（1，0），建立方程組，求出幾何量，即可求得橢圓的方程；
②設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及點M的橫坐標(biāo)為-

1

2

，且滿足

OA

+

OB

=

2OM

，求出直線的斜率，即可求直線l的方程．

解答：解：①設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵橢圓C過點A(1，

3

2

)，兩個焦點為F₁（-1，0）、F₂（1，0），
∴

a2-b2=1 1 a2 + 9 4b2 =1

∴a²=4，b²=3
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
②設(shè)直線l的斜率為k，則方程為y-

3

2

=k（x-1），即y=kx-k+

3

2

代入橢圓方程，可得（3+4k²）x²+（12k-8k²）x+4k²-12k-3=0，
設(shè)B（x₁，y₁），則
∵A(1，

3

2

)，∴x1+1=-

12k-8k2

3+4k2

∵點M的橫坐標(biāo)為-

1

2

，且滿足

OA

+

OB

=

2OM

，
∴x1+1=-

12k-8k2

3+4k2

=-1
∴k=

1

2

∴直線l的方程為x-2y+2=0．

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．