【題目】如圖,經(jīng)過村莊A有兩條夾角60°為的公路AB,AC,根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P,分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M,N(異于村莊A),要求PM=PN=MN=2(單位:千米).記∠AMN=θ.
(1)將AN,AM用含θ的關(guān)系式表示出來;
(2)如何設(shè)計(即AN,AM為多長時),使得工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最。垂S與村莊的距離AP最大)?

【答案】
(1)解:∠AMN=θ,在△AMN中,由正弦定理得: = =

所以AN= ,AM=


(2)解:AP2=AM2+MP2﹣2AMMPcos∠AMP

= sin2(θ+60°)+4﹣ sin(θ+60°)cos(θ+60°)

= [1﹣cos(2θ+120°)]﹣ sin(2θ+120°)+4

= [ sin(2θ+120°)+cos(2θ+120°)]+

= sin(2θ+150°),θ∈(0°,120°)(其中利用誘導(dǎo)公式可知sin(120°﹣θ)=sin(θ+60°))

當(dāng)且僅當(dāng)2θ+150°=270°,即θ=60°時,工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小,此時AN=AM=2.


【解析】(1)根據(jù)正弦定理,即可θ表示出AN,AM;(2)設(shè)AP2=f(θ),根據(jù)三角函數(shù)的公式,以及輔助角公式即可化簡f(θ);根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),即可求出函數(shù)的最值.

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A.
B.
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