【題目】在△ABC中，D為BC的中點，∠BAD+∠C≥90°． （Ⅰ）求證：sin2C≤sin2B；
（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣ ，AB=2，AD=3，求AC．

【答案】證明：令∠BAD=α，∠CAD=β， ∵∠BAD+∠C≥90，
∴α≥90°﹣C，β≤90°﹣B，
∴sinα≥sin（90°﹣C）=cosC，sinβ≤sin（90°﹣B）=cosB，
∵D為BC的中點，
∴S△ABD=S△ACD ，
∴ cADsinα= bADsinβ，
∴csinα=bsinβ，
∴ccosC≤bcosB
∴sinCcosC≤sinBcosB
∴sin2C≤sin2B；
（Ⅱ）在△ABD中，BD2=AB2+AD2﹣2ADABcos∠BAD=4+9﹣12×（﹣ ）=16，
∴BD=4，
∴cos∠ADB= = ，
在△ADC中，CD=BD=4，cos∠ADC=﹣cos∠ADB=﹣ ，
∴AC2=9+16﹣2×3×4×（﹣ ）=46，
∴AC= ．
【解析】（Ⅰ）∠BAD=α，∠CAD=β，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質得到sinα≥cosC，sinβ≤cosB，再根據(jù)三角形面積公式可得csinα=bsinβ，即可得到ccosC≤bcosB再根據(jù)正弦定理和二倍角公式即可求出，（Ⅱ）根據(jù)余弦定理和夾角公式即可求出．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知方程 =1表示的曲線為C，給出以下四個判斷：
①當1＜t＜4時，曲線C表示橢圓；
②當t＞4或t＜1時曲線C表示雙曲線；
③若曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，則1＜t＜ ；
④若曲線C表示焦點在x軸上的雙曲線，則t＞4，
其中判斷正確的個數(shù)是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，EF∥平面ABCD，EF=1，F(xiàn)B=FC，∠BFC=90°，AE= ．
（1）求證：AB⊥平面BCF；
（2）求直線AE與平面BDE所成角的正切值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，經(jīng)過村莊A有兩條夾角60°為的公路AB，AC，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M，N（異于村莊A），要求PM=PN=MN=2（單位：千米）．記∠AMN=θ．
（1）將AN，AM用含θ的關系式表示出來；
（2）如何設計（即AN，AM為多長時），使得工廠產生的噪聲對居民的影響最小（即工廠與村莊的距離AP最大）？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x為4，則運行的次數(shù)與輸出x的值分別為（ ）
A.5.730
B.5.729
C.4.244
D.4.243

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知h（x）=|2x﹣1|+m|x+3|（m＞0），且h（x）的最小值是7． （Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求出當h（x）取得最小值時x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）= ，直線y= x（a≠0）為曲線y=f（x）的一條切線．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，設函數(shù)g（x）=min{f（x），x﹣ }（x＞0），若函數(shù)h（x）=g（x）﹣bx2為增函數(shù)，求實數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列選項中說法正確的是（ ）
A.命題“p∨q為真”是命題“p∧q為真”的必要條件
B.向量 ， 滿足 ，則 與 的夾角為銳角
C.若am2≤bm2 ， 則a≤b
D.“?x0∈R，x02﹣x0≤0”的否定是“?x∈R，x2﹣x≥0”

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】河南多地遭遇年霾，很多學校調整元旦放假時間，提前放假讓學生們在家躲霾．鄭州市根據(jù)《鄭州市人民政府辦公廳關于將重污染天氣黃色預警升級為紅色預警的通知》，自12月29日12時將黃色預警升級為紅色預警，12月30日0時啟動Ⅰ級響應，明確要求“幼兒園、中小學等教育機構停課，停課不停學”．學生和家長對停課這一舉措褒貶不一，有為了健康贊成的，有怕耽誤學習不贊成的，某調查機構為了了解公眾對該舉措的態(tài)度，隨機調查采訪了50人，將調查情況整理匯總成如表：

年齡（歲）

[15，25）

[25，35）

[35，45）

[45，55）

[55，65）

[65，75]

頻數(shù)

5

10

15

10

5

5

贊成人數(shù)

4

6

9

6

3

4


（Ⅰ）請在圖中完成被調查人員年齡的頻率分布直方圖；
（Ⅱ）若從年齡在[25，35），[65，75]兩組采訪對象中各隨機選取2人進行深度跟蹤調查，選中4人中不贊成這項舉措的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．

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