Question

設(shè)函數(shù)，。
（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）（i）設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，在上恰有一個(gè)使得；
（ii）求實(shí)數(shù)的取值范圍，使得對(duì)任意的，恒有成立。
注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。

Answer 1

（1）的減區(qū)間是；增區(qū)間是 
（2）在上恰有一個(gè)使得.
（ⅱ）。

試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，   1分
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
所以函數(shù)的減區(qū)間是；增區(qū)間是      3分
（2）（ⅰ）   4分
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005356049415.png" style="vertical-align:middle;" />，所以函數(shù)在上遞減；在上遞增    6分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005356111928.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以在上恰有一個(gè)使得.    8分
（ⅱ）若，可得在時(shí)，，從而在內(nèi)單調(diào)遞增，而，
，不符題意。       
由（�。┲�在遞減，遞增，
設(shè)在上最大值為則，
若對(duì)任意的，恒有成立，則，    11分
由得，，
又，。    13
點(diǎn)評(píng)：典型題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問題，首先通過求導(dǎo)數(shù)，研究導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)情況，確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間。應(yīng)用同樣的方法，研究函數(shù)圖象的形態(tài)，明確方程解的情況。作為“恒成立問題”往往轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值。