Question

已知函數(shù).
（Ⅰ）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)時，若對任意，存在，使，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）當(dāng)時，函數(shù)在（０，１）上單調(diào)遞減；
函數(shù)在（１，＋∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞減； 
函數(shù)在上單調(diào)遞增；
函數(shù)上單調(diào)遞減，
（Ⅱ）

試題分析：（Ⅰ）因為
所以
令
（1）當(dāng)
所以，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，此時單調(diào)遞
（2）當(dāng)
即，解得
①當(dāng)時，恒成立，
此時，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
②當(dāng)
時，單調(diào)遞減；
時，單調(diào)遞增；
，此時，函數(shù)單調(diào)遞減；
③當(dāng)時，由于
時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減；
時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞增。
綜上所述：
當(dāng)時，函數(shù)在（０，１）上單調(diào)遞減；
函數(shù)在（１，＋∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞減； 
函數(shù)在上單調(diào)遞增；
函數(shù)上單調(diào)遞減，
（Ⅱ）因為，由（Ⅰ）知，
，當(dāng)，
函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，
函數(shù)單調(diào)遞增，所以在（0，2）上的最小值為
由于“對任意，存在，使”等價于
“在[1，2]上的最小值不大于在（0，2）上的最小值” （*）
又，所以
①當(dāng)時，因為，此時與（*）矛盾；
②當(dāng)時，因為，同樣與（*）矛盾；
③當(dāng)時，因為
解不等式，可得
綜上，的取值范圍是
點評：典型題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問題，恒成立問題，往往通過“分離參數(shù)”，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值。涉及對數(shù)函數(shù)，要特別注意函數(shù)的定義域。