Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)增區(qū)間；

（2）若恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)（）．

①求實(shí)數(shù)的取值范圍；

②求證：．

Answer 1

【答案】（1）； （2）見解析.

【解析】

（1）直接利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間. （2）①關(guān)于的方程在上有三個(gè)不同的解．即關(guān)于的方程在上有三個(gè)不同的解．令，,再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)F(x)的圖像和值域，即得a的取值范圍. ②當(dāng)時(shí)，．令，則，即，分析得到，，代入化簡即證.

（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?/span>．

．

所以，在上單調(diào)遞增；

即的單調(diào)增區(qū)間為.

（2）①由題意可得，關(guān)于的方程在上有三個(gè)不同的解．

即關(guān)于的方程在上有三個(gè)不同的解．

令，．

所以．

顯然，當(dāng)時(shí)，，證明如下：

令，．

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增．

所以當(dāng)時(shí)，取最小值．

所以，當(dāng)時(shí)，．

令，可得或．

將x,h1(x),h(x)變化情況列表如下

		極小值		極大值

又當(dāng)

所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為．

②由①可知，當(dāng)時(shí)，．

令，則，

即，，．

不妨設(shè)，則．

又，，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．

顯然，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

所以，．

所以

．

即．