Question

已知曲線f（x）=ax+blnx-1在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為直線y=0
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=

x2

2

-mx+mf（x），其中m為常數(shù)．求g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用切線的斜率為0，可得f'（1）=0，又f（1）=0，即可求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)m≤0時(shí)，g′（x）＞0；當(dāng)m＞0時(shí)，由g′（x）＞0，可得g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；

解答： （1）解：求導(dǎo)函數(shù)，可得f'（x）=a+

b

x

由已知得切線的斜率為0，從而f'（1）=0，所以a+b=0
又f（1）=a-1=0，所以a=1，b=-1．
（2）g（x）=

x2

2

-mx+mf（x）=

x2

2

-mlnx-m，
∴g′（x）=x-

m

x

當(dāng)m≤0時(shí)，
∵x＞0，∴g′（x）＞0，
∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）；
當(dāng)m＞0時(shí)，由g′（x）＞0，得x＞

m

或x＜-

m

（舍去）
∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（

m

，+∞）；

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論思想的應(yīng)用，正確求導(dǎo)，構(gòu)建函數(shù)是關(guān)鍵．