Question

【題目】如圖，我海監(jiān)船在D島海域例行維權(quán)巡航，某時(shí)刻航行至A處，此時(shí)測(cè)得其北偏東30°方向與它相距20海里的B處有一外國(guó)船只，且D島位于海監(jiān)船正東18海里處．
（1）求此時(shí)該外國(guó)船只與D島的距離；
（2）觀測(cè)中發(fā)現(xiàn)，此外國(guó)船只正以每小時(shí)4海里的速度沿正南方航行．為了將該船攔截在離D島12海里的E處（E在B的正南方向），不讓其進(jìn)入D島12海里內(nèi)的海域，試確定海監(jiān)船的航向，并求其速度的最小值（角度精確到0.1°，速度精確到0.1海里/小時(shí)）．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意，在△ABD中，∠DAB=60°，

由余弦定理得DB2=AD2+AB2﹣2ADABcos60°=182+202﹣2×18×15×cos60°=364，

∴ ，

即此時(shí)該外國(guó)船只與D島的距離為 海里

（2）解：法一、過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AD于點(diǎn)H，

在Rt△ABH中，AH=10，∴HD=AD﹣AH=8，

以D為圓心，12為半徑的圓交BH于點(diǎn)E，連結(jié)AE、DE，

在Rt△DEH中，HE= ，∴ ，

又AE= ，

∴sin∠EAH= ，則 ≈41.81°．

外國(guó)船只到達(dá)點(diǎn)E的時(shí)間 （小時(shí)）．

∴海監(jiān)船的速度 （海里/小時(shí)）．

又90°﹣41.81°=48.2°，

故海監(jiān)船的航向?yàn)楸逼珫|48.2°，速度的最小值為6.4海里/小時(shí)．

法二、建立以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD為x軸，過(guò)點(diǎn)A往正北作垂直的y軸．

則A（0，0），D（18，0）， ，設(shè)經(jīng)過(guò)t小時(shí)外國(guó)船到達(dá)點(diǎn) ，

又ED=12，得 ，此時(shí) （小時(shí)）．

則 ， ，

∴監(jiān)測(cè)船的航向東偏北41.81°．

∴海監(jiān)船的速度 （海里/小時(shí)）．

【解析】（1）依題意，在△ABD中，∠DAB=60°，由余弦定理求得DB；（2）法一、過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AD于點(diǎn)H，在Rt△ABH中，求解直角三角形可得HE、AE的值，進(jìn)一步得到sin∠EAH，則∠EAH可求，求出外國(guó)船只到達(dá)E處的時(shí)間t，由 求得速度的最小值． 法二、建立以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD為x軸，過(guò)點(diǎn)A往正北作垂直的y軸．可得A，D，B的坐標(biāo)，設(shè)經(jīng)過(guò)t小時(shí)外國(guó)船到達(dá)點(diǎn) ，結(jié)合ED=12，得 ，列等式求得t，則 ， ，再由 求得速度的最小值．