Question

【題目】由n（n≥2）個不同的數(shù)構(gòu)成的數(shù)列a1 ， a2 ， …an中，若1≤i＜j≤n時，aj＜ai（即后面的項(xiàng)aj小于前面項(xiàng)ai），則稱ai與aj構(gòu)成一個逆序，一個有窮數(shù)列的全部逆序的總數(shù)稱為該數(shù)列的逆序數(shù)．如對于數(shù)列3，2，1，由于在第一項(xiàng)3后面比3小的項(xiàng)有2個，在第二項(xiàng)2后面比2小的項(xiàng)有1個，在第三項(xiàng)1后面比1小的項(xiàng)沒有，因此，數(shù)列3，2，1的逆序數(shù)為2+1+0=3；同理，等比數(shù)列 的逆序數(shù)為4．
（1）計算數(shù)列 的逆序數(shù)；
（2）計算數(shù)列 （1≤n≤k，n∈N*）的逆序數(shù)；
（3）已知數(shù)列a1 ， a2 ， …an的逆序數(shù)為a，求an ， an﹣1 ， …a1的逆序數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵{an}為單調(diào)遞減數(shù)列，∴逆序數(shù)為
（2）解：當(dāng)n為奇數(shù)時，a1＞a3＞…＞a2n﹣1＞0．

當(dāng)n為偶數(shù)時：

∴0＞a2＞a4＞…＞a2n．

當(dāng)k為奇數(shù)時，逆序數(shù)為 ；

當(dāng)k為偶數(shù)時，逆序數(shù)為

（3）解：在數(shù)列a1，a2，…an中，若a1與后面n﹣1個數(shù)構(gòu)成p1個逆序?qū)�，則有（n﹣1）﹣p1不構(gòu)成逆序?qū)�，所以在�?shù)列an，an﹣1，…a1中，

逆序數(shù)為

【解析】（1）由{an}為單調(diào)遞減數(shù)列，可得逆序數(shù)為99+98+…+1．（2）當(dāng)n為奇數(shù)時，a1＞a3＞…＞a2n﹣1＞0．當(dāng)n為偶數(shù)時：0＞a2＞a4＞…＞a2n ． 可得逆序數(shù)．（3）在數(shù)列a1 ， a2 ， …an中，若a1與后面n﹣1個數(shù)構(gòu)成p1個逆序?qū)�，則有（n﹣1）﹣p1不構(gòu)成逆序?qū)�，可得在�?shù)列an ， an﹣1 ， …a1中，逆序數(shù)為（n﹣1）﹣p1+（n﹣2）﹣p2+…+（n﹣n）﹣pn ．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系．