Question

已知函數(shù)f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）+2cos²x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）已知a，b，c是△ABC三邊長(zhǎng)，且f（C）=2，△ABC的面積S=10

3

，c=7．求角C及a，b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）f（x）解析式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理為一個(gè)角的正弦函數(shù)，找出ω的值代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）由f（C）=2，根據(jù)第一問(wèn)確定出的解析式求出C的度數(shù)，利用三角形面積公式列出關(guān)系式，將sinC值代入求出ab的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，將cosC代入求出a+b的值，聯(lián)立即可求出a與b的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

+sin2xcos

π

6

-cos2xsin

π

6

+cos2x+1=

3

sin2x+cos2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1，
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π；
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，得到-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈Z，
則函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z；
（Ⅱ）由f（C）=2，得到2sin（2C+

π

6

）+1=2，即sin（2C+

π

6

）=

1

2

，
∴2C+

π

6

=

π

6

或2C+

π

6

=

5π

6

，
解得：C=0（舍去）或C=

π

3

，
∵S=10

3

，
∴

1

2

absinC=

3

4

ab=10

3

，即ab=40①，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即49=a²+b²-ab，
將ab=40代入得：a²+b²=89②，
聯(lián)立①②解得：a=8，b=5或a=5，b=8．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．