Question

【題目】已知函數(shù)y=x+ 有如下性質(zhì)：如果常數(shù)t＞0，那么該函數(shù)（0， ]上是減函數(shù)，在[ ，+∞）上是增函數(shù)．
（1）已知f（x）= ，g（x）=﹣x﹣2a，x∈[0，1]，利用上述性質(zhì)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和值域．
（2）對(duì)于（1）中的函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x），若對(duì)于任意的x1∈[0，1]，總存在x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1）成立，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）= =2x+1+ ﹣8，

設(shè)u=2x+1，x∈[0，1]，則1≤u≤3，則y=u+ ﹣8，u∈[1，3]，由已知性質(zhì)得，

當(dāng)1≤u≤2，即0≤x≤ 時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，所以遞減區(qū)間為[0， ]

當(dāng)2≤u≤3，即 ≤x≤1時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，所以遞增區(qū)間為[ ，1]

由f（0）=﹣3，f（ ）=﹣4，f（1）=﹣ ，得f（x）的值域?yàn)閇﹣4，﹣3]

（2）解：由于g（x）=﹣x﹣2a為減函數(shù)，故g（x）∈[﹣1﹣2a，﹣2a]，x∈[0，1]，

由題意，f（x）的值域?yàn)間（x）的值域的子集，從而有

所以 a=

【解析】（1）將2x+1看成整體，研究對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性從而求出函數(shù)的值域，以及利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)得到該函數(shù)的單調(diào)性；（2）對(duì)于任意的x1∈[0，1]，總存在x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1）可轉(zhuǎn)化成f（x）的值域?yàn)間（x）的值域的子集，建立關(guān)系式，解之即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集才能正確解答此題．