【題目】設(shè) 個(gè)正數(shù) 滿足 ).
(1)當(dāng) 時(shí),證明:
(2)當(dāng) 時(shí),不等式 也成立,請你將其推廣到 )個(gè)正數(shù) 的情形,歸納出一般性的結(jié)論并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

【答案】
(1)

證明:因?yàn)? )均為正實(shí)數(shù),

左—右=

=0,

所以,原不等式 成立


(2)

歸納的不等式為:

).

當(dāng) )時(shí),由(1)知,不等式成立;

假設(shè)當(dāng) )時(shí),不等式成立,即

則當(dāng) 時(shí),

=

=

=

因?yàn)? , ,

所以 ,

所以當(dāng) ,不等式成立.

綜上所述,不等式 )成立.


【解析】本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)(1)由于 積為 ,所以利用基本不等式進(jìn)行證明: , , ,三式相加得 ,即 (2)本題結(jié)構(gòu)對稱,易于歸納出 ,用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)的難點(diǎn)在于明確 時(shí)式子與 式子關(guān)系:其差為 ,問題轉(zhuǎn)化為證明 ,這可利用作差,因式分解得證.

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