【題目】已知數(shù)列{an}前n項和為Sn .
(1)若Sn=2n﹣1,求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若a1= ,Sn=anan+1 , an≠0,求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)設(shè)無窮數(shù)列{an}是各項都為正數(shù)的等差數(shù)列,是否存在無窮等比數(shù)列{bn},使得an+1=anbn恒成立?若存在,求出所有滿足條件的數(shù)列{bn}的通項公式;若不存在,說明理由.
【答案】
(1)解:n=1時,a1=S1=2﹣1=1,
當(dāng)n≥2時,an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1﹣(2n﹣1﹣1)=2n﹣1,
上式對n=1也成立.
綜上可得數(shù)列{an}的通項公式為an=2n﹣1;
(2)解:a1= ,Sn=anan+1,an≠0,
可得a1=a1a2,a1≠0,可得a2=1,
當(dāng)n≥2時,an=Sn﹣Sn﹣1=anan+1﹣an﹣1an,
即有an+1﹣an﹣1=1,
即有數(shù)列{an}中奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列,
可得a2n﹣1= +n﹣1= ,a2n=1+n﹣1=n= ,
故數(shù)列{an}的通項公式為an= ;
(3)解:設(shè)an=c+dn,假設(shè)存在無窮等比數(shù)列{bn},使得an+1=anbn恒成立.
設(shè)數(shù)列{bn}的公比為q,則bn+1=qbn,
即有 =q ,
即an+2an=qan+12,
則(dn+2d+c)(dn+c)=q(dn+d+c)2對一切n為自然數(shù)成立.
即(d2﹣qd2)n2+2(1﹣q)d(c+d)n+c(2d+c)﹣q(d+c)2=0對n∈N*成立.
取n=1,2,3可得(d2﹣qd2)+2(1﹣q)d(c+d)+c(2d+c)﹣q(d+c)2=0①
4(d2﹣qd2)+4(1﹣q)d(c+d)+c(2d+c)﹣q(d+c)2=0②
9(d2﹣qd2)+6(1﹣q)d(c+d)+c(2d+c)﹣q(d+c)2=0③
由恒成立思想可得d2﹣qd2=0,(1﹣q)d(c+d)=0,c(2d+c)﹣q(d+c)2=0,
當(dāng)d=0時,an=c>0,所以bn=1(n∈N*),檢驗滿足要求;
當(dāng)d≠0,q=1,所以c(2d+c)﹣q(d+c)2=0,則d=0,矛盾.
綜上可得,當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}的公差d=0,存在無窮等比數(shù)列{bn},
使得an+1=anbn恒成立,且bn=1;
當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}的公差d≠0,不存在無窮等比數(shù)列{bn},
使得an+1=anbn恒成立.
【解析】(1)由數(shù)列的遞推式:n=1時,a1=S1,當(dāng)n≥2時,an=Sn﹣Sn﹣1,計算即可得到所求通項公式;(2)求出a1=a1a2,a1≠0,可得a2=1,當(dāng)n≥2時,an=Sn﹣Sn﹣1=anan+1﹣an﹣1an,即有an+1﹣an﹣1=1,即有數(shù)列{an}中奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列,運用等差數(shù)列的通項公式即可得到所求通項;(3)設(shè)an=c+dn,假設(shè)存在無窮等比數(shù)列{bn},使得an+1=anbn恒成立.設(shè)數(shù)列{bn}的公比為q,則bn+1=qbn,
即有 =q ,則(dn+2d+c)(dn+c)=q(dn+d+c)2對一切n為自然數(shù)成立.展開等式,取n=1,2,3,再由恒成立思想,可得d,q的值,解方程即可判斷存在性.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知常數(shù)m≠0,n≥2且n∈N,二項式(1+mx)n的展開式中,只有第6項的二項式系數(shù)最大,第三項系數(shù)是第二項系數(shù)的9倍.
(1)求m、n的值;
(2)若記(1+mx)n=a0+a1(x+8)+a2(x+8)2+…+an(x+8)n , 求a0﹣a1+a2﹣a3+…+(﹣1)nan除以6的余數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為CC1和BB1的中點,則異面直線AE與D1F所成角的余弦值為( )
A.0
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓P過A(﹣8,0),B(2,0),C(0,4)三點,圓Q:x2+y2﹣2ay+a2﹣4=0.
(1)求圓P的方程;
(2)如果圓P和圓Q相外切,求實數(shù)a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量 =(sinx,﹣2cosx), =(sinx+ cosx,﹣cosx),x∈R.函數(shù)f(x)= .
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間 上的最大值和最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且bcosA= asinB.
(1)求角A的大;
(2)若a=1,求△ABC面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線y=x2﹣6x+1與坐標(biāo)軸的交點都在圓C上.
(Ⅰ)求圓C的方程;
(Ⅱ)若圓C與直線x﹣y+a=0交與A,B兩點,且OA⊥OB,求a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某投資商到一開發(fā)區(qū)投資72萬元建起一座蔬菜加工廠,第一年共支出12萬元,以后每年支出增加4萬元,從第一年起每年蔬菜銷售收入50萬元.設(shè)f(n)表示前n年的純利潤總和(f(n)=前n年的總收入﹣前n年的總支出﹣投資額).
(1)該廠從第幾年開始盈利?
(2)若干年后,投資商為開發(fā)新項目,對該廠有兩種處理方法:①年平均純利潤達到最大時,以48萬元出售該廠;②純利潤總和達到最大時,以16萬元出售該廠,問哪種方案更合算?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,有一直徑為8米的半圓形空地,現(xiàn)計劃種植果樹,但需要有輔助光照.半圓周上的C處恰有一可旋轉(zhuǎn)光源滿足果樹生長的需要,該光源照射范圍是 ,點E,F(xiàn)在直徑AB上,且 .
(1)若 ,求AE的長;
(2)設(shè)∠ACE=α,求該空地種植果樹的最大面積.
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