【題目】已知拋物線：（）.

（1）若拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，點(diǎn)，在拋物線上，線段的中點(diǎn)為，求直線的方程；

（2）若圓以原點(diǎn)為圓心，1為半徑，直線與，分別相切，切點(diǎn)分別為，，求的最小值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由距離為4可求出進(jìn)而可求出拋物線的方程.設(shè)，，代入到拋物線方程中，兩式相減，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出的斜率，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式，可求出直線的方程.

（2）設(shè)直線的方程為（），與拋物線、圓的方程聯(lián)立，結(jié)合相切，可求，.設(shè)，通過切點(diǎn)既在直線上又在拋物線上，可求出，，從而，結(jié)合基本不等式，可求出有最小值.

解：（1）由拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，得.所以拋物線的方程為.

設(shè)，，則，所以，即

.因?yàn)榫�段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，

所以且.所以.

故直線的方程為，即直線的方程為

經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.

（2）設(shè)直線的方程為（）.代入，得.（*）

由直線與拋物線相切可知，，故.①

又直線與圓相切，所以，即.②

聯(lián)立①②，得，故.

設(shè)，解（*）式可得，，從而.

故，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值，為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖，四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面底面，為上的點(diǎn)，且平面

（1）求證：平面平面；

（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求二面角的余弦值．

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【題目】已知函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，且函數(shù)在上單調(diào)遞增.

①求實(shí)數(shù)的取值范圍；

②設(shè)，當(dāng)實(shí)數(shù)取最小值時(shí)，求函數(shù)的極小值.

（2）當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）定義：對(duì)于函數(shù)，若存在，使成立，則稱為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).如果函數(shù)存在不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】《中央廣播電視總臺(tái)2019主持人大賽》是中央人民廣播電視總臺(tái)成立后推出的第一個(gè)電視大賽，由撒貝寧擔(dān)任主持人，康輝、董卿擔(dān)任點(diǎn)評(píng)嘉賓，敬一丹、魯健、朱迅、俞虹、李洪巖等17位擔(dān)任專業(yè)評(píng)審.從2019年10月26日起，每周六20:00在中央電視臺(tái)綜合頻道播出.某傳媒大學(xué)為了解大學(xué)生對(duì)主持人大賽的關(guān)注情況，分別在大一和大二兩個(gè)年級(jí)各隨機(jī)抽取了100名大學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.下圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生場(chǎng)均關(guān)注比賽的時(shí)間頻率分布直方圖和頻數(shù)分布表，并將場(chǎng)均關(guān)注比賽的時(shí)間不低于80分鐘的學(xué)生稱為“賽迷”.

大二學(xué)生場(chǎng)均關(guān)注比賽時(shí)間的頻數(shù)分布表

時(shí)間分組

頻數(shù)

12

20

24

22

16

6

（1）將頻率視為概率，估計(jì)哪個(gè)年級(jí)的大學(xué)生是“賽迷”的概率大，請(qǐng)說明理由；

（2）已知抽到的100名大一學(xué)生中有男生50名，其中10名為“賽迷”試完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有的把握認(rèn)為“賽迷”與性別有關(guān).

非“賽迷”

“賽迷”

合計(jì)

男

女

合計(jì)

附：，其中.

0.15

0.10

0.05

0.025

2.072

2.706

3.841

5.024

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】疫情爆發(fā)以來，相關(guān)疫苗企業(yè)發(fā)揮專業(yè)優(yōu)勢(shì)與技術(shù)優(yōu)勢(shì)爭(zhēng)分奪秒開展疫苗研發(fā).為測(cè)試疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%，則認(rèn)為測(cè)試沒有通過)，選定2000個(gè)樣本分成三組，測(cè)試結(jié)果如“下表:

組

組

組

疫苗有效

673

疫苗無效

77

90

已知在全體樣本中隨機(jī)抽取1個(gè)，抽到組疫苗有效的概率是0.33.

（1）求，的值；

（2）現(xiàn)用分層抽樣的方法在全體樣本中抽取360個(gè)測(cè)試結(jié)果，求組應(yīng)抽取多少個(gè)?

（3）已知，，求疫苗能通過測(cè)試的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的離心率為，過其右焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸垂直的直線與橢圓在第一象限交于點(diǎn)，且.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)，不重合，直線，與直線分別交于點(diǎn)，，求證：以線段為直徑的圓過定點(diǎn)，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)，是方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，記（）.下列兩個(gè)命題（ ）

①數(shù)列的任意一項(xiàng)都是正整數(shù)；

②數(shù)列存在某一項(xiàng)是5的倍數(shù).

A.①正確，②錯(cuò)誤B.①錯(cuò)誤，②正確

C.①②都正確D.①②都錯(cuò)誤

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知雙曲線與圓在第一象限交點(diǎn)為，曲線.

（1）若，求b；

（2）若，與x軸交點(diǎn)是，P是曲線上一點(diǎn)，且在第一象限，并滿足，求∠；

（3）過點(diǎn)且斜率為的直線交曲線于M、N兩點(diǎn)，用b的代數(shù)式表示，并求出的取值范圍.

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