【題目】已知數(shù)列的首項(xiàng),前項(xiàng)和為,.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn,并證明:1≤Tn<.
【答案】(1) an=3n-1.
(2) . 證明見解析.
【解析】分析:(1)由遞推關(guān)系式可得{an}是以3為公比的等比數(shù)列.且首項(xiàng)為1,則其通項(xiàng)公式為an=3n-1.
(2)由題意可得,錯(cuò)位相減可得,據(jù)此結(jié)合的單調(diào)性即可證得題中的結(jié)論.
詳解: (1)由an+1=2Sn+1,得an=2Sn-1+1(n≥2),
兩式相減得an+1-an=2(Sn-Sn-1)=2an,
故an+1=3an(n≥2),
所以當(dāng)n≥2時(shí),{an}是以3為公比的等比數(shù)列.
因?yàn)?/span>a2=2S1+1=2a1+1=3,=3,
所以{an}是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列,an=3n-1.
(2)由(1)知an=3n-1,故bn=log3an+1=log33n=n,==n·,
Tn=1+2×+3×+4×+…+n×,①
Tn=1×+2×+3×+…+(n-1)×+ n×,②
①-②,得Tn=1++,
所以Tn=-(+n). 因?yàn)?/span>(+n) >0, 所以Tn=-(+n)<.
又因?yàn)?/span>Tn+1-Tn=>0,所以數(shù)列{Tn}單調(diào)遞增,所以(Tn)min=T1=1,所以1≤Tn<.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到直線的距離的比值為常數(shù),記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)若直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn), ,直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn) ,且,求以, , , 為頂點(diǎn)的凸四邊形的面積的最大值.
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【題目】已知橢圓的離心率為,短軸長為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè), 是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn),連接交橢圓于另一點(diǎn),證明直線與軸相交于定點(diǎn);
(3)在(2)的條件下,過點(diǎn)的直線與橢圓交于, 兩點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,⊥底面,是的中點(diǎn).
已知,,,.求:
(1)三棱錐PABC的體積;
(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是拋物線: ()上一點(diǎn), 是拋物線的焦點(diǎn), 且.
(1)求拋物線的方程;
(2)已知 ,過 的直線 交拋物線 于 、 兩點(diǎn),以 為圓心的圓 與直線 相切,試判斷圓 與直線 的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,且,數(shù)列滿足,,其前9項(xiàng)和為63.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;
(2)令,數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若對(duì)任意正整數(shù)n,都有,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線及點(diǎn).
(1)求經(jīng)過點(diǎn),且與直線平行的直線方程;
(2)求經(jīng)過點(diǎn),且傾斜角為直線的傾斜角的倍的直線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,長方體ABCD﹣A′B′C′D′中,AB=2 ,AD=2 ,AA′=2,
(Ⅰ)求異面直線BC′ 和AD所成的角;
(Ⅱ)求證:直線BC′∥平面ADD′A′.
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