Question

設(shè)拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，直線l過(guò)F且與拋物線C交于M、N兩點(diǎn)，已知直線l與x軸垂直時(shí)，△OMN的面積為2（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）問(wèn)是否存在直線l，使得以M、N為對(duì)角線的正方形的第三個(gè)頂點(diǎn)恰好在y軸上，若存在，求直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）直線l與x軸垂直時(shí)，|MN|=2p，利用△OMN的面積為2，求出p，即可求拋物線C的方程；
（Ⅱ）求出線段MN的垂直平分線，可得P的坐標(biāo)，利用

PM

•

PN

=0，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）直線l與x軸垂直時(shí)，|MN|=2p，
∵△OMN的面積為2，
∴

1

2

•2p•

p

2

=

p2

2

=2，
∴p=2，
∴拋物線C的方程為y²=4x；
（Ⅱ）直線l與x軸垂直時(shí)，不滿(mǎn)足，設(shè)正方形的第三個(gè)頂點(diǎn)P（0，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
設(shè)l：y=k（x-1）（k≠0），代入y²=4x，可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1，
∴MN的中點(diǎn)為（

k2+2

k2

，

2

k

），
∴線段MN的垂直平分線為y-

2

k

=-

1

k

（x-1-

2

k2

），
∴P（0，

3

k

+

2

k3

），
∵

PM

•

PN

=0，
∴x₁x₂+（y₁-y₀）（y₂-y₀）=0，
∴1-4-y₀•

4

k

+y₀²=0，
由y₀=

3

k

+

2

k3

代入，可得（3k⁴-4）（k²+1）=0，
∴k=±

4 3

，
∴存在直線l：y=±

4 3

（x-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，難度中等．